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Folgenkriterium Formulieren und beweisen
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Stetigkeit
Tags: Folgen und Reihen, Stetigkeit
 
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Guten Abend, mal wieder benötige ich Hilfe. Diesmal folgende Aufgabe: Formulieren und beweisen Sie ein Folgenkriterium für den Grenzwert einer Funktion an einer Stelle soll eine Tiefgestellte 0 sein). Also, ich verstehe weder die Aufgabe, noch habe ich auch nur Ansatzweise eine Idee was ich machen soll. Und um endlich mal diese Sache zu klären: bedeutet Funktion bildet auf ab, oder konvergiert gegen RR? (letzteres würd sogar mir sinnfrei vorkommen). Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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Sei ℝ ℝ eine Funktion. besitzt an der Stelle (Berührpunkt) den Grenzwert falls für jede Folge mit . muss eigentlich dabei nicht selber im Definitionsbereich von liegen, es reicht ledeglich das ein Berührpunkt von I ist. Das heißt, dass überhaupt mindestens eine Folge existiert die in I gegen konvergiert. Man kann auch als Häufungspunkt von I voraussetzen. Das heißt dann, dass mindestens eine Folge in I existiert, die gegen konvergiert. Dadurch würde dann die Grenzwertbildung in isolierten Punkte von I ausgeschlossen werden. Machen Autoren unterschiedlich... |
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Schon mal vielen Dank für die Rückmeldung. Ich glaube dir, dass dies eine richtige Lösung ist, allerdings bin ich jetzt auch nicht schlauer als vorher. Was davon ist jetzt ein Folgenkriterium und wieso ist damit bewiesen, dass da ein Grenzwert an der Stelle ist? |
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Das ganze nennt man Folgenkriterium für den Grenzwert einer Funktion... Es gibt unterschiedliche äquivalente Definitionen für den Begriff des Grenzwerts einer Funktion an einer Stelle . Habt ihr in der Vorlesung nicht auch eine Definition für den Grenzwert einer Funktion kennengelernt?? Mit ? Ich denke ihr sollt dann aus dieser Definition aus der Vorlesung, dieses Folgenkriterium zeigen... |
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Ja Kriterium nannten wie das. Allerdings sehe ich zwischen dem und der Aufgabe überhaupt keinen Zusammenhang. Ich lasse mich aber gerne erleuchten. |
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Hier mal die Definition für Grenzwerte von Funktionen. Sei I ℝ und ℝ eine Funktion . Sei Berührpunkt von I, dann heißt das Symbol der Grenzwert von für gegen wenn: . Eine ähnliche Definition müsst ihr bestimmt auch in der Vorlesung gehabt haben. Also gehen wir von dieser Definition aus. Es gebe zu jedem ein sodass für alle die folgende Implikation gilt Es ist zu zeigen, dass für jede Folge mit und gilt: . Sei vorgegeben und sei gemäß Voraussetzungen. Wegen existiert ein in den natürlichen Zahlen, sodass für alle . Nach Voraussetzung ist daher für alle . Also gilt . |
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Ok, das erklärts....allerdings frag ich mich wie ich auf sowas von alleine kommen soll. Danke :-) |
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Ja, wenn man noch nie etwas vom Folgenkriterium gehört hat ist das nicht so ganz einfach. Aber man sollte sich einfach merken, dass man immer diese beiden Definitonen für Grenzwerte hat. Ich persönlich finde das Folgenkriterium immer etwas leichter anzuwenden. |
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Ja wie das mit Mathe so ist....wen man weiß wies geht ists nicht so schwer :-D) |
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