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Folgenräume, Operatornorm, Äquiv. Normen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Abbildung, äquivalent, Folge, Folgen, Folgenraum, Funktionalanalysis, Linear, Norm, Operator, Operatornorm, Raum, stetig

dealwithit aktiv_icon

19:21 Uhr, 16.04.2019

Guten Abend! :-)

Ich beschäftige mich gerade mit den Folgenräumen

l^{p}

.
Diese sind definiert durch:

l^{p} = {(a_{n})_{n \in ℕ} \subset ℝ : ∥ a ∥_{l^{p}} := (\sum_{n = 0}^{\infty} ∣ a_{n} ∣^{p})^{1 / p} < \infty} .

Der Fall

p = \infty

wird durch

l^{\infty} = {(a_{n})_{n \in ℕ} \subset ℝ : ∥ a ∥_{l^{\infty}} := sup_{n \in ℕ} ∣ a_{n} ∣ < \infty}

abgedeckt.
Nun wird eine Abbildung

I : l^{p} \to l^{q}

für alle

1 \leq p < q \leq \infty

durch

I (x) = x

definiert.
Ich habe bereits gezeigt, dass diese wohldefiniert (damit ist doch die Inklusion

l^{p} \subset l^{q}

gemeint?) sowie stetig ist.

Nun möchte ich...

1.) Die Operatornorm bestimmen
2.) Folgern, dass es keine

1 \leq p \neq q \leq \infty

gibt, sodass

∥ \cdot ∥_{l^{p}}

und

∥ \cdot ∥_{l^{q}}

äquivalente Normen auf

l^{p}

definieren.

Zu 1.)

∥ I ∥ = sup {∥ I (x) ∥_{l^{q}} : x \in l^{p} u n d ∥ x ∥_{l^{p}} = 1} = sup {∥ x ∥_{l^{q}} : x \in l^{p} u n d ∥ x ∥_{l^{p}} = 1} = sup_{x \in l^{p}, ∥ x ∥_{l^{p}} = 1} ∥ x ∥_{l^{q}} = 1

Kann das stimmen?

Zu 2.)
Ich weiß, wie die Äquivalenz von Normen definiert ist, zum einen über die Ungleichung mit den Konstanten

c

und

C

, zum anderen über die Folgenkonvergenz bezüglich der Normen. Allerdings finde ich keinen Ansatz für den Beweis.

Vielen Dank im Voraus für Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:40 Uhr, 17.04.2019

Hallo,

"Kann das stimmen?" Ja, das stimmt. Aber es muss bewiesen / erklärt werden - oder? Wie hast Du denn die Stetigkeit von I gezeigt?

Für die zweite Frage ist doch ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Schau mal auf Folgen

x

mit

x_{i} = 1

für

i = 1, ..., n

und

x_{i} = 0

sonst.

Gruß pwm

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