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Folgerungen für einen angeordneten Körper K

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Angeordneter Körper, Axiom, Körper

Five155

13:03 Uhr, 10.05.2018

Hallo, ich grübele jetzt schon seit einiger Zeit an folgender Aufgabe

Sei $K$ ein angeordneter Körper. Beweisen Sie:

Für alle $x, y$ ∈ $K$ gilt:

$x y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2}$

Das ganze einfach so zu beweisen schaffe ich sicherlich, aber soweit ich weiß dürfen nur die Körperaxiome und die des angeordneten Körpers verwendet werden. Kann mir wer einen Ansatz geben, meine verlaufen sich solange bis die nicht mehr zielführend sind...

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Respon

13:21 Uhr, 10.05.2018

Beginne mit der wahren Aussage
${(x - y)}^{2} \geq 0$

Five155

13:26 Uhr, 10.05.2018

${(x + y)}^{2} \geq 0$
$\Rightarrow x^{2} + 2 x y + y^{2} \geq x y$
$\Rightarrow x^{2} + 2 x y - x y + y^{2} \geq 0$

$\Rightarrow {(x + y)}^{2} \geq x y$

Wars das wirklich schon? Das hatte ja garnicht wirklich was mit dem Axiomem zu tun gehabt.
Danke!

Respon

13:27 Uhr, 10.05.2018

Das war aber nicht die Behauptung !
Du sollst ja zeigen $x \cdot y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2}$

Five155

13:32 Uhr, 10.05.2018

Hoppla, ja das war ein paar Aufgaben davor, komme bei dem ganzen Kram bisschen durcheinander.
Ich probiers nochmal mit der richtigen Aufgabe

Five155

13:58 Uhr, 10.05.2018

Soo, ich glaube ich habs:

${(x - y)}^{2} \geq 0$
$\Rightarrow x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0$
$\Rightarrow x^{2} + 2 x y + y^{2} \geq 4 x y$
$\Rightarrow 0,25 x^{2} + 0,5 x y + 0,25 y^{2} \geq x y$
$\Rightarrow {(\frac{x + y}{2})}^{2} \geq x y$

Respon

14:03 Uhr, 10.05.2018

So ist es !
Möglich wäre hier auch ein indirekter Bweis.
Angenommen, es sei $x \cdot y > {(\frac{x + y}{2})}^{2}$
$\Rightarrow$
$x \cdot y > \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}{4}$
$4 \cdot x \cdot y > x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}$
$0 > x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}$
$0 > {(x - y)}^{2}$
Widerspruch

Five155

14:14 Uhr, 10.05.2018

Ja bei dem Widerspruch muss ich nicht immer die nervigen Brüche aufschreiben :-)

Hab mich bis heute nie wirklich mit Ungleichungen auseinandergesetzt, da sind Leute wie du echt sehr gut! Vielen Dank!

Five155

14:16 Uhr, 10.05.2018

Falls es nochmal was geben sollte, weiß ich wo mir geholfen wird!

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