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Folgt aus A^2 diagonalisierbar gleich A diag.??
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung
 
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Hallo allerseits. Sei A element der kreuz Matrizen über dem Körper der komplexen Zahlen unf A so, dass diagonalisierbar ist. Zeige das A diagonalisierbar ist, wenn A invertierbar ist. Ich hänge schon länger an der Aufgabe und habe schon mit anderen Studis versucht sie zu lösen aber irgendwie hat niemand so recht ne Idee wie. Man muss zeigen das A eine Basis aus n-verschiedenen EV besitzt das ist schon klar, aber mit fehlt leider komplett die Idee wie ich da rangehen soll. Ein Paar Tipps wären sehr hilfreich. Ich habe zunächst versucht mit dem Inversen von A da rumzubasteln, jedoch ohne Erfolg . |
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Wenn nicht diagonalisierbar, so hat ihre Jordan-Normalform Einse über der Diagonale. Wenn auch invertierbar ist, so hat ihre Jordan-Normalform keine Nullen auf der Diagonale. In diesem Fall ist leicht zu sehen, dass auch das Quadrat der Jordan-Normalform Einträge über der Diagonale haben muss, womit nicht diagonalisierbar ist. S. auch hier: http://fora.xkcd.com/viewtopic.php?f=17&t=71107 |
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Aber ist diag. und damit soll man zeugen das A diag. ist nicht umgekehrt |
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Und genau darüber habe ich auch geschrieben. Lies aufmerksamer. |
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Naja wir haben halt nicht gelernt was diese Jordan Normalform sein soll. |
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Könntest du das iwi ander erklären ? |
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Aber trotzdem schonmal danke. Ich hab jetzt vllt ne idee wie ich das mache |
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Hallo, ich denke, man kann übe das Minimalpolynom von gehen. Vielleicht ist schon bekannt, dass bei diagonalisierbaren Matrizen das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt. (S. de.wikipedia.org/wiki/Diagonalisierbare_Matrix#Weitere_Charakterisierungen_der_Diagonalisierbarkeit ) Damit hätten wir also mit den paarweise verschiedenen Eigenwerten (). Daraus erhältst du ein neues Polynom Rechne nach bzw. erinnere dich (sofern schon behandelt), dass gilt. Das Polynom annuliert die Matrix (es gilt und damit ). Also: annuliert und hat lauter paarweise verschiedene Nullstellen. Damit muss das Minimalpolynom von (!) auch in paarweise verschiedene Nullstellen zerfallen. (Dass es zerfällt, ist über nicht überraschend.) Wichtig: Dass die Nullstellen paarweise verschieden sind, kann man so einfach nur deshalb schließen, weil für kein gilt. (Sonst hätte man eine doppelte Nullstelle in .) So, kann der Weg gegangen werden, wenn ihr Jordansche Normalformen noch nicht hattet? Mfg Michael |
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Vielen dank. Hat echt geholfen und war gut erklär. Vom Herzen dank. |
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Vielen dank. Hat echt geholfen und war gut erklär. Vom Herzen dank. |
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Danke. Gut erklärt und leictht verständlich. Vom Herzen dank. |
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