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Formale Definition (Distributivgesetz)

Schüler Gymnasium,

Tags: Bedeutung, Formale Definition, Symbol

TinaL aktiv_icon

03:54 Uhr, 20.01.2016

Hallo,

ich bin auf eine Formale Definition (vom Distributivgesetz) gestossen und stelle fest dass ich die Definition überhaupt nicht nachvollziehen kann. Das zugehörige Gesetz, das Distributivgesetz kenne ich inhaltlich und kann es problemlos anwenden. Bloß würde ich gerne die zugehörige Definition genau lesen, nachvollziehen und in anderen Fällen selbst Formale Definitionen erstellen können.

Im angehängten Bild ist der Anfang der Formalen Definition zu sehen. Der ist mir unverständlich. Diese Abbildung wurde Wikipedia entliehen. Leider werden die Symbole aber nicht erklärt.

Warum wird am Anfang von "Auf einer Menge A" gesprochen, wieso "Auf", was ist das für eine merkwürdige Formulierung?
Was soll das bedeuten "AxA

\to

A" und wie liest sich das?
Und warum …"über <>"…?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

13:20 Uhr, 20.01.2016

Hallo
1. eine Verknüppfung muss ja immer ein Paar von Elementen aus der menge verknüpfen, also aus

(a, b) \in A \times A

eine Element

c \in A

c=a(vk)b machen
2. für das Distributivgesetz bracht man 2 Verknüpfungen der Paare in wiki

< >

und

⋆

genannt, Beispiele dafür sind

+

und

\cdot

etwa für

ℚ \times ℚ

dann kann sich das Gesetz auf

< >

oder

⋆

beziehen, dafür das Wort über<>
also im Bsp über

+

a*(c+b)=ac+ab aber nicht über

⋆

denn

a + (b \cdot c) \neq (a + b) + (a + c)

wie willst du anders sagen für welches Zeichen das Gesetz gemeint ist?
Was also genau bleibt unklar?
Gruß ledum

TinaL aktiv_icon

00:51 Uhr, 21.01.2016

Danke, die Antwort ist schon recht aufschlussreich gewesen.
Etwas unklar ist mir noch folgendes:

A x A \to A

das hätte ich zuerst so gelesen:
die Menge A (Symbol:

A)

multipliziert mit (Symbol:

x)

der Menge A (Symbol:

A)

daraus folgt (Symbol:

\to)

die Menge A (Symbol:

A)

.

Heisst das etwa richtiger Weise ungefähr so etwas:
Ein Element der Menge A (Symbol:

A)

verknüpft mit (Symbol:

x)

einem Element der Menge A (Symbol:

A)

ergibt (Symbol:

\to)

wieder ein Element der Menge A (Symbol:

A)

also:

A =

Element der Menge A

x =

verknüpft mit

\to =

ergibt

Sind die Symbole etwa so zu interpretieren?

ledum aktiv_icon

01:54 Uhr, 21.01.2016

Hallo
die Menge

A \times A

ist definiert als die menge aller Paare

(a_{i}, a_{k})

mit

a_{i}, a_{k} \in A

Bsp

A = {1,2,3} A \times A = {(1,1), (1,2), (1,3); (2,2), (2,3), (3,3)}

das hat noch nichts mit Verknüpfung zu tun.
jetzt kann man eine Verknüpfung

+

zwischen den Elementen definieren , die wieder nach A geht

z . B 1 + 1 = 2; 1 + 3 = 1; 2 + 2 = 1 ...

. wobei das

+

nicht das der Addition natürlicher Zahlen ist!
in

ℕ \times ℕ

kann man

+

und

⋆

der gewohnten Art nehmen um Paare aus

ℕ \times ℕ

nach

ℕ

abzubilden
Gruß ledum

TinaL aktiv_icon

20:50 Uhr, 22.01.2016

A x A \to A

scheint mir eine typisches Symbol für das Kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst zu sein. Stimmts?
Mit (ai, ak) kann ich leider nichts anfangen.

i

=imaginäre Zahl, ne oder???

k =

???

Roman-22

21:07 Uhr, 22.01.2016

In ledums Beispiel fehlen in

A \times A

drei Paare.

Die Bezeichnung

a_{i}

und

a_{k}

für zwei beliebige Elemente aus A ist ein wenig unglücklich, weil irreführend - sie suggeriert, dass die Elemente von A abzählbar sein müssen, was zwar in ledums Beispiel klarerweise der Fall ist, allgemein aber keine notwendige Voraussetzung ist.

R

TinaL aktiv_icon

11:38 Uhr, 24.01.2016

Danke Euch.

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