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Formel für Invertierung einer 3 x 3 Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

biuty aktiv_icon

02:01 Uhr, 31.01.2010

Liebe Forummitglieder. Ich habe eine sehr angenehme Formel zum Invertieren von Matrizen entdeckt. Zuerst wurde sie mir nur mündlich erklärt, ich habe sie ausprobiert und sie hat immer funktioniert. Außerdem habe ich die Formel auch auf Wikipedia wiedergefunden.

http//de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix#Formel_f.C3.BCr_3x3-Matrizen

Allerdings habe ich heute versucht folgende Matrix nach dieser Formel zu invertieren und bin gescheitert:

A =

2, - 2, 1

1, 2, 2

2, 1, - 2

Es ist zwar möglich die Formel anzuwenden, aber das Ergebnis stimmt einfach nicht.
Hat jemand Erfahrung mit diesem System und kann mir sagen ob/wenn es ein gültiges Verfahren ist?
Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

maxsymca

10:48 Uhr, 31.01.2010

Es ist unter numerischen Gesichtspunkten nicht angebracht Gleichungen und Inverse mit Determinanten zu berechnen. Der Brechungsaufwand steigt mit wachsender Zeilen- und Spalten- Zahl unverhältnismäßig stark an.
Das Standardverfahren ist das parallele Umformen der Matrix in die Einheitsmatrix

(\begin{matrix} 2 & - 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

A (2) = 2 \cdot A (2) - A (1)

A (3) = 2 \cdot A (3) - 2 \cdot A (1)

(\begin{matrix} 2 & - 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 3 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & - 6 & - 2 & 0 & 2 \end{matrix})

A (3) = 6 \cdot A (3) - 6 \cdot A (2)

A (3) = \frac{A (3)}{A (3, 3)}

(\begin{matrix} 2 & - 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 3 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & - \frac{2}{9} \end{matrix})

A (1) = 1 \cdot A (3) - A (1)

A (2) = 3 \cdot A (3) - A (2)

A (2) = \frac{A (2)}{A (2, 2)}

(\begin{matrix} - 2 & 2 & 0 & - \frac{8}{9} & \frac{2}{9} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & - \frac{2}{9} \end{matrix})

A (1) = 2 \cdot A (2) - A (1)

A (1) = \frac{A (1)}{A (1, 1)}

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{2}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & - \frac{2}{9} \end{matrix})

biuty aktiv_icon

11:07 Uhr, 31.01.2010

Ja das ist mir schon bekannt. Aber für der konkreten Fall der

3 x 3

Matrix wäre durch diese Formel ein geringerer Rechenaufwand notwendig. Allerdings zweifle ich einfach die Korrektheit der Formel an.

maxsymca

11:23 Uhr, 31.01.2010

Also mein CAS ermittelt

\frac{1}{(a \cdot e - b \cdot d) \cdot i + (c \cdot d - a \cdot f) \cdot h + (b \cdot f - c \cdot e) \cdot g} \cdot (\begin{matrix} e \cdot i - f \cdot h & c \cdot h - b \cdot i & b \cdot f - c \cdot e \\ f \cdot g - d \cdot i & a \cdot i - c \cdot g & c \cdot d - a \cdot f \\ d \cdot h - e \cdot g & b \cdot g - a \cdot h & a \cdot e - b \cdot d \end{matrix})

sieht ziemlich ähnlich dem Wikipedia Dings aus...
Rechenfehler Deinerseits sind nicht möglich?

biuty aktiv_icon

12:12 Uhr, 31.01.2010

Ich habe den Fehler gefunden. Ich hatte für die Determinante durch einen Rechenfehler

- 28

anstatt

- 27

. Das Verfahren ist also in Ordnung. Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

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