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Formel für parallele & senkrechte Vektoren finden

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Tags: Gruppen, Körper, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Ring, Skalarprodukt, Sonstig, Vektorraum

matze195 aktiv_icon

22:56 Uhr, 04.07.2018

hallo, Leute.

Heute dreht sich meine Frage um das Thema "Vektorraum mit Skalarprodukt". Und ich hänge leider bei folgender Aufgabe fest..

Die Aufgabe habe ich als Bild unten hochgeladen, da ich die Zeichen für paralelle und senkrechte Vektoren nicht schreiben kann.

Es geht um die Teilaufgabe

b),

da ich die

a)

schon bewiesen habe.

Mein Ansatz war folgender:

Im Internet habe ich gefunden, dass

v_{| |} + v_{⊥}

geometrisch einen Vektor

w

ergeben. Was ja auch logisch ist, aber dann verstehe ich nicht die Beziehung

v = v_{| |} + v_{⊥}

.

Weil

w \neq v,

oder etwa nicht? Bin in der Hinsicht ein wenig verwirrt...

Denn wenn ich

w = v_{| |} + v_{⊥}

verwenden darf, dann komme ich auf folgendes:

Da

v_{| |}

parallel zu

v

ist, kann man

v_{| |}

auch schreiben als

v_{| |} = λ \cdot v

mit

0 < λ < 1

und erhalten die Gleichung:

w = (λ \cdot v) + v_{⊥} | - v_{⊥}

und

- w

\Leftrightarrow - v_{⊥} = (λ \cdot v) - w | \cdot (- 1)

\Leftrightarrow v_{⊥} = w - (λ \cdot v)

Nun wissen wir, dass das Skalarprodukt von 2 Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, 0 ergibt. Also können wir mit der Formel

v \cdot v_{⊥} = 0

weiter arbeiten.

Wenn ich nun

v_{⊥}

in die Gleichung einsetze, erhalte ich:

v \cdot (w - (λ \cdot v)) = v \cdot w - λ \cdot v \cdot v = 0

Nun formen wir nach der Unbekannten

λ

um:

v \cdot w - λ \cdot v \cdot v = 0 | + λ \cdot v \cdot v

\Leftrightarrow v \cdot w = λ \cdot v \cdot v | : v \cdot v

\Leftrightarrow λ = \frac{v \cdot w}{v \cdot v}

Nun setzen wir

λ

ein in

v_{⊥} = w - (λ \cdot v)

und man erhält:

v_{⊥} = w - (\frac{v \cdot w}{v \cdot v} \cdot v)

Somit gilt:

v_{| |} = λ \cdot v = \frac{v \cdot w}{v \cdot v} \cdot v

und

v_{⊥} = w - (\frac{v \cdot w}{v \cdot v} \cdot v)

Passt das soweit? Wenn ja, dann könnte mir jemand vllt die obige Frage beantworten? Weil der Weg zur Formelfindung ist einfach, aber ich habe hn nicht verstanden, wenn ich nicht weiß, warum

v = v_{| |} + v_{⊥}

und

w = v_{| |} + v_{⊥}

mit

v \neq w

gilt...

oder habe ich da was komplett missverstanden?

ich hoffe, mir kann jemand helfen.
ich bedanke mich schon im Voraus!

lg
Moritz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

23:44 Uhr, 04.07.2018

Hallo wenn du einen

ℝ^{2}

Vektor in

x

und

y

Koordinate zerlegst, ist

v_{x} \cdot (1,0) + v_{y} \cdot (01) = v

so ist die Definition wohl gemeint. also nich

v_{| |}

parallel zu

v,

sondern

v

wird in 2 zueinander senkrechte Komponenten zerlegt, Denk dir einen Thaleskreis über

v,

zeichne irgendein Dreieck rein dessen Seiten sind dann 2 mögliche

v_{| |}

und

v_{_|}

im 1. Bispiel könnte jetz Beispiel könnt jetzt W=span((1,0) sein, dann hast du ein Bsp.
da du von der falschen Vorstellung ausgingst, ist natürlich auch dein Beweis keiner.
mit

\frac{< v, w_{i} >}{| w |}

findet die möglichen

v_{| |}

mit

< v, w_{i} \geq 0

die senkrechten.
bei

V = ℝ^{2}

ist das nur eine Möglichket, bei höheren Dimensionsn mit

dim W = r

Gleichungen, deren Lösung eindeutig sein soll, wenn die

w_{i}

linear unabhängig sind .
Gruß ledum

matze195 aktiv_icon

00:19 Uhr, 05.07.2018

Also erst mal ein großes Danke. Jetzt ergibt die Zerlegung einen Sinn. Ich finde, das hätte man auch gleich so hinschreiben können.

Dann ist mein Beweis also leider in die Hose gegangen.

Was mich aber noch irritiert ist, dass

v_{| |}

für einen parallelen Vektor steht und

v_{⊥}

für einen senkrechten. Wenn man also liest, das

v = v_{| |} + v_{⊥}

gilt, dann könnte man meinen, dass ein Vektor

v

sich in einem senkrechten und einen parallelen Teil zerlegen lässt.

Du hast aber geschrieben, dass

v

sich in 2 zueinander senkrechte Komponenten zerlegt lässt. Was für mich auch Sinn macht. Aber dann würde ich die Zerlegung folgendermaßen notieren:

v = v_{1 ⊥} + v_{2 ⊥},

weil es ja 2 senkrechte Vektoren sind. Ich weiß echt nicht, wie bei der obigen Definition dieser parallele Vektor

v_{| |}

zusammenhängt.

Zum Beweis:

Wie könnte ich die Formeln für

v_{| |}

und

v_{⊥}

herausfinden? Weil mir dazu leider kein Ansatz mehr einfällt...

Liegt vielleicht auch nur daran, dass ich irritiert bin.

lg
Moritz

ledum aktiv_icon

03:41 Uhr, 05.07.2018

Hallo
wenn man von den "komponenten eines Vektors spricht gehört daz IMMER eine Basis
alsi in derkanonischen Basis ist

(1,1) = 1 \cdot (1,0) + 1 \cdot (0,1) =

aber

i

der Basis

b 1 = (1,1)

b2=(1,-1)ist

(1,1) = 1 \cdot (1,1) + 1 \cdot (1, - 1)

das heisst Komponenten sind einfach die Faktoren der Basisvektoren, das heisst im ersten Fall ist

v

die Summe von 2 aufeinander senkrechten Vektoren, da auch

b 1, b 2

senkrecht sind auch hier, obwohl die Vektoren verschieden sind.
Vielleich bist du (von der Schule?) immer nur mit den einfachen sog "kanonischen" Basisvektoren konfrontiert worden?
Gruß ledum

matze195 aktiv_icon

15:24 Uhr, 05.07.2018

Hallo! Ich habe gestern nochmal darüber nachgedacht und mir ist folgendes eingefallen.

Kann es sein, dass

v

in einem senkrechten und parallelen Anteil bezuüglich eines ANDEREN Vektors zerlegt wird? Denn graphisch ergibt die Summe ja auch wieder

v

.

Zum Beispiel knüpfe ich mir mal die

b)

vor:

Ich habe ein Vektor

v \in V

und den Unterraum

w :=

span

{w}

. Also muss diese Gerade (weil mind. Dimension

1)

durch den Ursprung gehen.

Nun kann ich mir ein

w

aus dem Unterraum schnappen und ein

v

in seinen parallelen und senkrechten Anteil bezüglich

w

zerlegen.

Um dir zu zeigen, was ich meine, habe ich unten meine Skizze hochgeladen.

Ist das vielleicht so gemeint? Weil wenn ja, dann wäre der Beweis dafür sehr ähnlich wie oben, aber nicht identisch, oder?
lg
Matze

ermanus aktiv_icon

15:49 Uhr, 05.07.2018

Hallo,

sei

v_{∣ ∣} + v_{⊥} = {\tilde{v}}_{∣ ∣} + {\tilde{v}}_{⊥}

.
Dann folgt

v_{∣ ∣} - {\tilde{v}}_{∣ ∣} = {\tilde{v}}_{⊥} - v_{⊥} (*) .

Die linke Seite liegt in

W

.

Nun gilt

< w, {\tilde{v}}_{⊥} - v_{⊥} > = < w, {\tilde{v}}_{⊥} > - < w, v_{⊥} > = 0 + 0 = 0 \forall w \in W

.

Wegen

(*)

gilt also auch

< w, v_{∣ ∣} - {\tilde{v}}_{∣ ∣} > = 0 \forall w \in W

,
da i.b.

v_{∣ ∣} - {\tilde{v}}_{∣ ∣} \in W

, muss also

< v_{∣ ∣} - {\tilde{v}}_{∣ ∣}, v_{∣ ∣} - {\tilde{v}}_{∣ ∣} > = 0

sein,
woraus

v_{∣ ∣} - {\tilde{v}}_{∣ ∣} = 0

, also

v_{∣ ∣} = {\tilde{v}}_{∣ ∣}

folgt.
Schließlich ist

v_{⊥} = v - v_{∣ ∣} = v - {\tilde{v}}_{∣ ∣} = {\tilde{v}}_{⊥}

.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

16:00 Uhr, 05.07.2018

Oh, sorry :(
Sehe gerade erst, dass du a) ja schon bewiesen hast ...

matze195 aktiv_icon

16:02 Uhr, 05.07.2018

Hey, danke für deine Antwort. Das passt! Ich bin froh, dass mein Beweis fast identisch ist.

Edit: kannst du mir vllt bei der

b)

helfen? Also mir sagen, ob ich mit meiner jetzigen Vorstellung richtig liege? Falls ja, wie könnte man den Beweis anfangen? Weil ich habe gerade eben wieder mit dem Beweis angefangen und komme überall nur auf Null...
:-P)

Wäre echt nett!

lg
Matze

ermanus aktiv_icon

17:00 Uhr, 05.07.2018

Bei a) hast du irgendwie "herumgetüdelt" ;-)
Dabei ist dein Ansatz mit so einem

λ

ja ganz richtig.
Du möchtest ein beliebiges

v

in einen in

s p a n (w)

liegenden Anteil

λ \cdot w

und einen zu

w

senkrechten Anteil

v_{⊥}

, für
den also

< v_{⊥}, w > = 0

gilt, zerlegen:

v = v_{⊥} + λ \cdot w

.

Diese Gleichung "multiplizieren" wir mit

w

< v, w > = < v_{⊥}, w > + < λ \cdot w, w > = 0 + λ < w, w >

.
hieraus ergibt sich für

λ

λ = \frac{< v, w >}{< w, w >}

, also

v = (v - \frac{< v, w >}{< w, w >} w) + (\frac{< v, w >}{< w, w >} w)

,
so dass

v_{⊥} = v - \frac{< v, w >}{< w, w >} w

und

v_{∣ ∣} = \frac{< v, w >}{< w, w >} w

,

da

< v - \frac{< v, w >}{< w, w >} w, w > = 0

ist.

matze195 aktiv_icon

17:21 Uhr, 05.07.2018

Vielen Dank!

Ja, bei der

a)

habe ich eher etwas bewiesen, ohne zu wissen, was ich bewiesen habe:-D) Das lag daran, dass ich eine falsche Vorstellung von dieser Zerlegung hatte.

Deine Herleitung der Formeln ist sehr verständlich. hier musste man also auch erst ein bisschen "rumprobieren", um ein weiter zu kommen

(z . B

. Gleichung mit

w

multiplizieren.)

Ich habe an dieser Stelle eine letzte Frage:

du hast

< λ + w, w >

λ \cdot < w, w >

umgeschrieben. Ist das Skalarprodukt aber nicht linear im zweiten Argument? (So steht es bei mir im Skript). Weil du hast ja das

λ

im ersten Argument herausgezogen. Kann wieder sein, dass ich daneben liege. Aber das würde mich interessieren!

Lg
Matze

ermanus aktiv_icon

17:24 Uhr, 05.07.2018

Du meinst sicher

λ \cdot w

und nicht

λ + w

;-)
Das Skalarprodukt ist symmetrisch !

matze195 aktiv_icon

17:29 Uhr, 05.07.2018

Ah okay, dann verstehe ich jetzt auch die Symmetrie! Durch die Symmetrie kannst du ja die Komponenten vertauschen und dann die Linearität im zweiten Argument verwenden.

Wäre das Skalarprodukt nicht symmetrisch, dann wäre das Ganze quasi in die Hose gegangen, oder?

Ich danke dir und ledum sehr für die hilfreichen Antworten! :-)
Habt noch einen schönen Abend!

Liebe Grüße
Moritz

ermanus aktiv_icon

17:34 Uhr, 05.07.2018

Dann hätte man vielleicht mit

w

von links "multipliziert".
Aber zum Glück ist das Skalarprodukt symmetrisch und daher sogar
vorne und hinten linear, also bilinear, weswegen man auch sagt:
es ist eine symmetrische Bilinearform.

Vielen Dank für die Grüße
Gruß zurück ermanus

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