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Formel nach n auflösen

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik, Rentenrechnung

Bling-bling aktiv_icon

14:51 Uhr, 20.11.2010

Hi ich habe Probleme mit dem umstellen der Formeln. Ich komme, sowohl bei End- und Barwert nicht mit meiner Formel auf das richtige Ergebnis.

Endwert:

S n = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{i} | \cdot i

S n \cdot i = r \cdot (q^{n} - 1) | - r

S n \cdot i - r = q^{n} - 1 | + 1

S n \cdot i - r + 1 = q^{n} | log

S n \cdot i - r + 1 = n log q | log q

\frac{S n \cdot i - r + 1}{log q} = n

Ich habe es jetzt mit 4 verschiedenen Wegen versucht komme aber wenn ich Zahlen eingebe immer auf unnötliche Lösungen.

Barwert:

S 0 = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{i \cdot q^{n}} | \cdot i

S 0 \cdot i = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{q^{n}} | - r

S 0 \cdot i - r = \frac{q^{n} - 1}{q^{n}}

Hier weiß ich dann schon nicht mehr weiter, bin echt am verzweifeln

: (

Wäre nett wenn mir jemand meinen Fehler aufzeigt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Vorzeichenfehler aktiv_icon

15:06 Uhr, 20.11.2010

Du hast beim endwert, beim zweiten schritt

r

mal irgendetwas stehen, rechnest aber minus

r

um dieses wegzubekommen (der selbe fehler liegt auch beim bar-wert vor)
dass ist der fehler den ich gerade sehe

Bling-bling aktiv_icon

15:30 Uhr, 20.11.2010

Super danke dir Vorzeichenfehler (lol)

Dann komme ich beim Endwert auf diese End-Formel:

n = \frac{log (\frac{S n \cdot i}{r} + 1)}{log q}

Naja Taschenrechner will noch nicht so aber es klappt.

Beim Barwert häng ich noch irgendwo.

S 0 = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{i \cdot q^{n}} | \cdot i

S 0 \cdot i = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{q^{n}} | : r

\frac{S 0 \cdot i}{r} = \frac{q^{n} - 1}{q^{n}}

Hier häng ich wieder. Ein Klassenkammerad meinte

S 0

kann man unterschiedlich ausrechnen, also es gibt verschiedene Auflösungswege, stimmt das?

Vorzeichenfehler aktiv_icon

16:26 Uhr, 20.11.2010

den logarithmus musst du doch, wenn du ihn ziehst auch beiden seiten der gleichung anwenden. also müsste das was im zähler steht auch noch nen log verpasst bekommen.
(beachte bitte noch, dass du, wenn du durch

r

teilst die lösung

r = 0

vernachlässigst)

und zu der anderen Formel:

den Bruch

q^{n} - \frac{1}{q^{n}}

kannsz du in (sofern das minus eins so wie es da steht "extra" ist) in

\frac{q^{n}}{q^{n}} - \frac{1}{q^{n}}

zerlegen. der ersten teil kürtzt sich zu eins, die ziehst du ab, dann multiplizierst du noch mit ein und wendest den Log auf BEIDEN seiten an und dann müsste es klappen.

(ich hab zwar keine ahnung was die gleichung überhaupt aussagt, aber umgefort wird ja eh nach allgemeinen regeln

Bling-bling aktiv_icon

16:49 Uhr, 20.11.2010

Danke,ich habs nur vergessen hinzuschreiben, habs verbessert

Mit der zweiten Formel versteh ich dein Vorschlag nicht so ganz

Es heißt ja:

S n = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{i}

mal

\frac{1}{q^{n}}

(Abzinsungsfaktor)

=

S 0 = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{i \cdot q^{n}}

(Ausgangsformel für Barwertrechnung)

Und die soll jetzt nach

n

(Laufzeit) aufgelöst werden.

Ich versteh nicht warum du die

\frac{1}{q^{n}}

wieder "abspaltest". Oder muss man das so machen? Aber dann wäre ja das "zusammenfassen" wie ich oben beschreibe sinnlos oder nicht?
Könntest du, oder jemand anderes, vielleicht die End-Formel für

n

aufschreiben? vielleicht kann ich dann die Schritte ableiten.

PS: Ja die 1 ist exrta :-)

Mfg

Vorzeichenfehler aktiv_icon

17:29 Uhr, 20.11.2010

also wie gesagt ich kenne die formel nicht aber um den term

q^{n} - \frac{1}{q^{n}}

umzuformen schreibst du ihn so um:

\frac{q^{n}}{q^{n}} + \frac{1}{q^{n}}

und kürtzt und löst weiter nach

n

auf
die formel ist dann auch anders als die davor. (ein bissl)

Bling-bling aktiv_icon

18:15 Uhr, 20.11.2010

puhhh nach

10000

versuchen endlich ein Weg bei dem ich aufs richtige ergebnis komme

S 0 = r \frac{g^{n} - 1}{q^{n} \cdot i} | \cdot q^{n} \cdot i

S 0 \cdot q^{n} \cdot i = r \cdot (q^{n} - 1) |

Klammer auflösen

S 0 \cdot q^{n} \cdot i = r \cdot q^{n} - r | + r

S 0 \cdot q^{n} \cdot i + r = r \cdot q^{n} | - S 0 \cdot q^{n} \cdot i

r = r \cdot q^{n} - S 0 \cdot q^{n} \cdot i | q^{n}

ausklammern

r = q^{n} (r - S 0 \cdot i) | : (r - S 0 \cdot i)

\frac{r}{r - S 0 \cdot i} = q^{n} | log

log (\frac{r}{r - S 0 \cdot i}) = n log q | : log q

\frac{log (\frac{r}{r - S 0 \cdot i})}{log q} = n

Mit diesem Weg komme ich auf richtige Ergebnise, wäre trotzdem nett wen nochmal ein über die Herleistung drüber spitzen würde :-)

Shipwater aktiv_icon

18:48 Uhr, 20.11.2010

Ich konnte beim Drüberfliegen keine Fehler finden.

S_{0} = r \frac{q^{n} - 1}{q^{n} \cdot i} \Leftrightarrow \frac{S_{0} \cdot i}{r} \cdot q^{n} = q^{n} - 1 \Leftrightarrow 1 = q^{n} - \frac{S_{0} \cdot i}{r} \cdot q^{n} \Leftrightarrow 1 = q^{n} (1 - \frac{S_{0} \cdot i}{r}) \Leftrightarrow \frac{1}{1 - \frac{S_{0} \cdot i}{r}} = q^{n} \Leftrightarrow n = \frac{log (\frac{1}{1 - \frac{S_{0} \cdot i}{r}})}{log (q)} \Leftrightarrow n = \frac{log (\frac{r}{r - S_{0} \cdot i})}{log (q)}

hätte ich höchstens noch als "schnelleren" Weg anzubieten.

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