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Formel nach n auflösen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Formel auflösen

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18:58 Uhr, 03.10.2018

Hallo liebes Forum,

dies ist mein erster Post hier und ich hoffe, dass ich die Frage in der richtigen Unterkategorie stelle. Ich arbeite gerade ein Analysis Grundlagen Buch zur Vorbereitung auf das Studium durch und bin über folgende Aufgabe gestolpert: (Mir geht es primär um das Auflösen der Formel nach

n

. Ich poste die gesamte Aufgabe nur um etwas Kontext zur Verfügung zu stellen. Die Hauptfrage steht in den letzten beiden Zeilen, ggf. skippen!;-))

Ein Objekt im Wert von 3.800.000€ soll abgeschrieben werden. Der Anfangsabschreibungsbetrag beträgt 80.000€. Es soll der Abschreibungszeitraum bei einem jährlich um 2.500€ geringer werdenden Abschreibungsbetrag berechnet werden. Die Folge der Abschreibungsbeträge bildet also eine arithmetische Folge mit

a_{1} = 80.000

und

d = 2.500

. Das Objekt ist abgeschrieben wenn die Summe der Abschreibungsbeträge den Anschaffungspreis erreicht:

s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 3.800.000

Sprich: Es soll die n-te Partialsumme der Reihe berechnet werden. (bzw. genauer gesagt das

n)

Die n-te Partialsumme

s_{n}

lässt sich nun berechnen mit

s_{n} = n \cdot a_{1} + n \frac{n - 1}{2} d

s_{n}, a_{1}

und

d

bekannt sind kann man

n

ja ausrechnen, indem man die Formel für

s_{n}

nach

n

auflöst und dann die Werte für

s_{n}, a_{1}

und

d

einsetzt und hier kommen wir jetzt zu dem Punkt wo ich im Augenblick nicht weiterkomme. Im Buch wird die Formel

s n

wie folgt nach

n

aufgelöst: (Anschließend geht es dann mit der pq Formel weiter, aber das poste ich hier nicht, weil ich nur eine Umformung vorher nicht verstehe)

1.

s_{n} = n \cdot a_{1} + n \frac{n - 1}{2} d

= n \cdot a_{1} + \frac{1}{2} (n^{2} d - n d)

= \frac{d}{2} n^{2} + n (a 1 - \frac{d}{2})

Wie man von 1. auf 2. kommt ist mir klar. Ich kann aber beim besten Willen die Umformung von der 2. auf die Dritte Zeile nicht nachvollziehen. Vielen Dank schonmal für Eure Zeit und Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel