Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Formel umstellen, Koordinatensystem

Formel umstellen, Koordinatensystem

Universität / Fachhochschule

Tags: Entfernung, Koordinatensystem

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Suchender

Suchender aktiv_icon

21:50 Uhr, 08.11.2019

Antworten
Guten Abend,
ich bin neu hier und mein Studium liegt einige Zeit hinter mir.
Ich möchte jedoch um einen gegebenen Punkt auf der Erdoberfläche einen Kreis ziehen welcher um den Mittelpunkt mit einem Radius von 500km entfernt ist. Dazu will ich 360 Punkte berechnen um einen Kreis zu ziehen (Excel).

Nun mein Vorgehen:
Um die Distanz zwischen 2 Punkten zu berechnen, habe ich folgende Formel (im Internet gefunden, für Excel) verwendet:
.......
in B2 steht die Breite des Ortes 1 und in B3 die Länge
in B5 steht die Breite des Ortes 2 und in B6 die Länge
jeweils Grad - dezimal

in C2 steht: =B2*PI()/180
bis C6 kopieren

Die Entfernung in km ist:
X=ARCCOS(SIN(C2)*SIN(C5)+COS(C2)*COS(C5)*COS(C6-C3))*6378,137
.........

Nach dieser Logik wollte ich die Formel nach C6 (Neuer Ort) erstmal umstellen. Die Breite hätte ich einfach die vorhandene aus dem ersten Ort verwendet. (Wie ich die restlichen 259 Punkte berechne, konnte ich mir noch nicht beantworten)

Leider scheitere ich bei der Formelumstellung beim Auflösen von Arccos(cos(c6)

Mein Versuch:
X=ARCCOS(SIN(C2)*SIN(C5)+COS(C2)*COS(C5)*COS(C6-C3))*6378,137
X*6378,137=ARCCOS(SIN(C2)*SIN(C5)+COS(C2)*COS(C5)*COS(C6-C3))
X*6378,137=ARCCOS(SIN(C2+C5)+COS(C2+C5)*COS(C6-C3))
X*6378,137=ARCCOS(SIN(C2+C5))+ ARCCOS(COS(C2+C5)*COS(C6-C3))
X*6378,137-ARCCOS(SIN(C2+C5))=ARCCOS(COS(C2+C5)*COS(C6-C3))
So hier scheitere ich......

Hat jemand eine Idee, ich hätte durch ARCCOS geteilt, aber das geht ja nicht.

Schönen Abend

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

03:39 Uhr, 09.11.2019

Antworten
Hallo
auf welcher Sorte Landkarte willst du denn das ganze machen, wenn du es dir auf der Erdkugel vorstellst, kannst du ja einfach einen Kreis nehmen, der ist ja durch Mittelpunkt und Radius schon festgelegt.
Gruß ledum
Antwort
11engleich

11engleich

07:50 Uhr, 09.11.2019

Antworten
Hallo
Also - schaffen wir doch erst mal ein bisschen Ordnung.
Nennen wir:
> den Längengrad am Ort 1:λ1
> den Breitengrad am Ort 1:β1
> den Längengrad am Ort 2:λ2
> den Breitengrad am Ort 2:β2
> den Winkel (ausgehend vom Erdmittelpunkt) zwischen den beiden Orten: x
> den Erdradius: R (das sind so ungefähr R=6378 km )

Dann gilt gemäß einem Kugel-Ansatz für die Entfernung (Länge) des Kreisbogens zwischen den Orten 1 und 2:
Abstand =xR
mit
cos(x)=sin(β1)sin(β2)+cos(β1)cos(β2)cos(λ2-λ1)

Wenn wir dich nun recht verstehen, willst du bei gegebenen sonstigen Größen nach einem Längengrad auflösen, nach λ2.

Also:
cos(x)=sin(β1)sin(β2)+cos(β1)cos(β2)cos(λ2-λ1)

ganze Gleichung minus sin(β1)sin(β2):

cos(x)-sin(β1)sin(β2)=cos(β1)cos(β2)cos(λ2-λ1)

ganze Gleichung geteilt durch cos(β1)cos(β2):

cos(x)-sin(β1)sin(β2)cos(β1)cos(β2)=cos(λ2-λ1)

arccos[ cos(x)-sin(β1)sin(β2)cos(β1)cos(β2)]=λ2-λ1

ganze Gleichung plus λ1:

λ2=λ1+ arccos[ cos(x)-sin(β1)sin(β2)cos(β1)cos(β2)]


PS:
und x= Abstand/R =z.B. (500km) / (6378km)
Suchender

Suchender aktiv_icon

17:05 Uhr, 09.11.2019

Antworten
Guten Tag,

und erstmal vielen Dank für die prompte und schnelle Hilfe.
Ich habe versucht das ganze nachzuvollziehen und nachzubauen.
Leider komme ich auf ein Ergebnis, aber keins das Sinn ergibt.

Als Beispiel habe ich den Standort Berlin gewählt:
52.518611°, 13.408333° (Laut Wikipedia)

Dann habe ich ein Winkel (Breite) als gegeben angenommen und 560km entfernt suche ich nun die Länge.
Somit wäre der Längengrad am Ort 1: 13.408333°

Somit wäre der Breitengrad am Ort 1: 52.518611°

Somit wäre der Längengrad am Ort 2:?

Somit wäre der Breitengrad am Ort 2: 52.518611°

X= 560km/6378km

Nach meiner Berechnung komme ich auf 13,54763519°
Dieser liegt jedoch bloß 13km entfernt. (Nach maps.openrouteservice.org

Formel: =13,408333+ARCCOS((COS(560/6378)-SIN(52,518611)*SIN(52,518611))/(COS(52,518611)*COS(52,518611)))

= 13,408333+ARCCOS(0,370275575/0,370276749)
=13,5526138

Eigentlich dachte ich das ich nur die Werte einsetzen müsste. Hast du mir einen Hinweis?

PS: Die zwei leicht Abweichenden Ergebnisse kommen von Excel vs. Taschenrechner


Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

19:31 Uhr, 09.11.2019

Antworten
Hallo
du solltest mal einen Globus (oder Ball) nehmen. Wenn der Mittelpunkt eines Kreises auf einem Breitengrad liegt, kann doch kein weiterer Punkt des Kreises auf demselben Breitengrad liegen! Wenn er auf einem bestimmten Längengrad liegt, gibt es genau 2 Punkte auf dem Längengrad mit Entfernung R.
hier dein Kreis 500km um Berlin mit google earth
Gruß ledum

Bildschirmfoto 2019-11-09 um 10.29.12
Antwort
maxsymca

maxsymca

23:10 Uhr, 09.11.2019

Antworten
Ich denke schon eine weile über den Sinn dieser Formel nach, wenn Du einen 500 km Kreis um, sagen wir Köln, ziehen willst, dann solltest Du auch einen Kreis nehmen.
Deshalb der ledum-Kreis gerechnet in GeoGebra.
Aus Koeln (geodaten) leite ich A (kartesische daten) ab. Schneide ein Scheibchen in die Kugel rein, damit der Radius Bogen 500m misst - was gerade mal 0.5 m im Radius des Umkreises (Mittelpunkt Mk) ausmacht. Der Umkreis KMk(t) kann nun für jeden Winkel t ausgewertet werden.
Im Beisiel KMk(0), was genau 500km nach Norden geht. Du kannst das Ergebnis mal überprüfen und Bescheid geben ob’s passt...

Ich habe den Auszug auf Deine Berlindaten angepasst...


E38B3A85-EB40-4F40-A723-141B2CC2138F
Antwort
11engleich

11engleich

23:57 Uhr, 09.11.2019

Antworten
In der Anlage das Rechenbeispiel.

Wie Ledum schon sagte, bildet deine Aufgabenstellung einen Kreis um den Ort_1, also um Berlin.
In 560 km Abstand gibt es also
> einen Ort westlich von Berlin (ich hab's mal "Ort_2" genannt),
> einen Ort östlich von Berlin (ich hab's mal "Ort_3" genannt),
> einen Ort nördlich von Berlin,
> einen Ort südlich von Berlin,
> und einen Ort in jeder beliebigen Richtung.

Die zwei Orte nördlich und südlich sind sogar besonders einfach.
Sie liegen natürlich auf dem selben Längengrad,
> eben um den Winkel x oberhalb (β2=β1+x)
> bzw. um den Winkel x unterhalb (β3=β1-x)
deines Kreismittelpunkts (Berlin).


online12
Antwort
11engleich

11engleich

00:19 Uhr, 10.11.2019

Antworten
PS:
"Hast du mir einen Hinweis?"

Du hattest erwähnt, dass du mit Excel arbeitest.
Ein typischer Anfänger-Anwenderfehler ist, mit falschen Winkeleinheiten zu arbeiten.
Excel verarbeitet die sin- und cos- Winkelfunktionen grundsätzlich in [rad].

Suchender

Suchender aktiv_icon

10:08 Uhr, 11.11.2019

Antworten
@11engleich: Der Hinweis war perfekt. Habe es korrigiert, (Gradangaben π180) und die Ergebnisse Passen zu deinen und ne Überprüfung in OpenStreetMap passt auch.
Mit der Formel könnte ich jetzt 4 Punkte ausrechnen.
Hast du mir einen Ansatz wie ich die restlichen Punkte dazwischen ausrechnen kann? 8Damit ich auf meine 360 Punkte komme? ( Excel) Da ich jetzt wie Unbekannte habe (Aber einen Winkel von einem Grad) bräuchte ich wieder etwas Hilfe.
Zumindest wäre das mein Ansatz mit einer Rotation um den Mittelpunkt von einem Grad weiterzuarbeiten.

@ledum: Um diesen Kreis um Berlin zu legen, wie hast du das berechnet, bzw. so das ich es in Excel nachbauen kann? Bezgl. dem Breitengrad: Wieso können keine zwei Orte auf dem gleichen liegen? Ich dachte das ergibt sich aus der Logik einer Fläche.


@maxsymca: Habe ich das richtig verstanden: Ich rechne den Umfang (2pi*560km) aus, daraus dann die Länge der Strecke von 1360 und arbeite damit weiter?
Antwort
maxsymca

maxsymca

11:52 Uhr, 11.11.2019

Antworten
Hallo,

(Guckst Du Bild meines letzten Posting)
ich berechne einen Kreis KMk(t) (Zeile 7) mit r=560 km um Berlin (Koordinaten im linken Fenster) übertrage die in kartesische Daten A (ein Kreis ist eine Fläche). Diese Fläche ist eine Ebene Et, die die Kreisscheibe Mittelpunkt Mk, Radius rk durch die Kugel legt((Kugelkalotte,-kappe). Um die Kreisgleichung zu finden brauche ich 2 Vektoren (länge=1) u,v die senkrecht aufeinander stehen - ich richte v nach Norden aus.

KMk(t)≔Mk+rk(u*sin(t)+v*cos(t)), t=0...2pi

Mit t = j pi/180, j=1...360 wandere ich gradweise im Kreis rum...
Z.B. die ersten 10°
KBerlin1-10:=(13.5734257.5498113.7367657.547213.8999757.5428714.0629657.536814.2256657.52914.38857.5194714.5499257.5082314.7113357.4952714.8721857.4805915.0323957.46421)

Die Formeln nach XL zu schaffen wäre möglich, XL ist aber so garnicht kooperativ auf dem Gebiet der analytischen Geometrie (erheblicher Aufwand). Wenn Du Interesse hast dieses Verfahren in XL umzusetzen, kann ich Dir gerne den Formelsatz zur Verfügung stellen.
Warum muss das XL sein und hat Dein Problem was mit Geocaching zu tun?


BTW: Im Bild ist noch ein kleiner Fehler (Mk wird auf 500km Radius berechnet) - deswegen schwebt N' auch 5m über der Oberfläche. ;-)

Damit Du Dir das besser vorstellen kannst, hier mal ein Blick auf einen 1560 km Kreis:


Berkin_2019-11-11_12-07-38
Antwort
11engleich

11engleich

19:28 Uhr, 11.11.2019

Antworten
Hallo
Selbstverständlich ist deine Intention auch im ursprünglich angedachten geographischen Koordinatensystem möglich.

Du hast doch schon gut angefangen.
Der Idee folgend wird sich empfehlen, für jeden Punkt (Ort) den Breitengrad vorzugeben, den man auf einem Kreisbogen erwarten würde.
Ich habe da einfach mal gemäß karthesischer Denke angesetzt:
β2=β1+xsin(α)
wobei du eben für α deine 360*1° einsetzen wirst.

Die zugehörigen Längengrade zu errechnen ist ja dann die Kleinigkeit, zu der du ja eben die Excelformel erstellt hast.

Bei genauer Betrachtungsweise verzerrt das natürlich ein klein wenig, aufgrund dessen dass wir karthesische Ansätze auf das geographische Koordinatensystems anwenden. Aber ich weiß jetzt nicht, wie deine Genauigkeitsanforderungen sind.

Als Anlage ein Viertel-Kreis um das Berlin-Beispiel...


online12
Frage beantwortet
Suchender

Suchender aktiv_icon

10:36 Uhr, 15.11.2019

Antworten
Guten Tag,

vielen Dank für eure bisherige Hilfe. Mangels Zeit eure Punkte nachzuvollziehen muss ich die Runde schließen.
Danke dennoch für die ausführlichen Hilfestellungen.
Vielleicht helfen Sie ja jemand anderen.

Viele Grüße,