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Formel von de Moivre und komplexe Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Ich benötige den Lösungsweg mit einer ausführlichen Rechnung

 
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Nina98

Nina98 aktiv_icon

17:09 Uhr, 21.11.2020

Antworten
ich habe die Koordinatenform schon in die Polarkoordinatenform gebracht:

(3(cos(Π4)+isin(Π4))6

Beim nächsten Schritt weiß ich leider nicht mehr weiter.
Die Aufgabe ist als Bild hochgeladen.

Vielen Dank im Voraus

317F5EA6-934D-466F-A6D6-DCD8D5483AA7

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

17:14 Uhr, 21.11.2020

Antworten
.
"ich habe die Koordinatenform schon in die Polarkoordinatenform gebracht:"

ganz nebenbei:
du hast dabei dann eine Klammer zu wenig notiert .. :-)



"Beim nächsten Schritt weiß ich leider nicht mehr weiter."

verwende hier die Exponentialform ..

mach mal .....
.
Nina98

Nina98 aktiv_icon

18:20 Uhr, 21.11.2020

Antworten
Leider habe ich diese Form noch nicht kennengelernt.
Hier aber meine Lösung:
z10= 6Wurzel(3)*( cos(Π24)+isin(Π24))

Danach habe ich auf Π24 immer (2pi/6) addiert.

z11= 6Wurzel(3) ( cos(3pi/8) +i sin(3pi/8)

usw. halt immer um 2pi/6 addiert bis
z15= 6Wurzel(3) (cos(41pi/24) +i sin(41pi/24)

Hoffe ist richtig so

Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

18:49 Uhr, 21.11.2020

Antworten
.
"Hoffe ist richtig so "

NEIN - wenn ich deine zu Beginn notierte Aufgabe lese, sehe ich dort nichts von Wurzelziehen?!

sondern dort steht doch hoch6 (also potenzieren!) - ODER ?

.

de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Polarform

de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Exponentialform

de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz

.
Nina98

Nina98 aktiv_icon

19:14 Uhr, 21.11.2020

Antworten
Kann ich den binomischen Lehrsatz einfach hier dann anwenden?
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

19:23 Uhr, 21.11.2020

Antworten
.
"Kann ich den binomischen Lehrsatz einfach hier dann anwenden?"

ob du das kannst weiss ich nicht... :-)
ich nehme aber an, dass du nicht die Summenform liefern sollst
.. die braucht man dann meist für Hochzahlen 2 oder 3, um so dann zB trigonometrische Formeln
.. (zB sin(3x)=...) herzuleiten..

verwende also für deine Aufgabe dies
de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz

mach mal ...

.
Nina98

Nina98 aktiv_icon

19:28 Uhr, 21.11.2020

Antworten
Achso die Potenz einfach als Faktor.
Vielen Dank
Schicke meine Lösung dann später rein
Antwort
Karl-Heinz001

Karl-Heinz001 aktiv_icon

11:11 Uhr, 22.11.2020

Antworten
Wenn ich eine komplexe Zahl z Potenzieren muß und n > 2 ist, dann gehe ich wie folgt vor.

Hinweis: Man kann sich eine komplexe Zahl auch als Zeiger in der komplexen Ebene vorstellen. In diesem Fall hat dann die komplexe Zahl z einen Radius r und einen Winkel phi.

Beim Potenzieren wird der Radius r mit n potenziert und der Winkel phi mit n multipliziert.

1) Also z von kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten umwandeln.
2) In Polarkoordinaten potenzieren.
3) Rücktransformation in kartesische Koordinaten mit Real und Imaginärteil.

Es gibt sicher zuhauf Beispiele wo dies gezeigt wird. ;-)
Antwort
Karl-Heinz001

Karl-Heinz001 aktiv_icon

11:11 Uhr, 22.11.2020

Antworten
Wenn ich eine komplexe Zahl z Potenzieren muß und n > 2 ist, dann gehe ich wie folgt vor.

Hinweis: Man kann sich eine komplexe Zahl auch als Zeiger in der komplexen Ebene vorstellen. In diesem Fall hat dann die komplexe Zahl z einen Radius r und einen Winkel phi.

Beim Potenzieren wird der Radius r mit n potenziert und der Winkel phi mit n multipliziert.

1) Also z von kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten umwandeln.
2) In Polarkoordinaten potenzieren.
3) Rücktransformation in kartesische Koordinaten mit Real und Imaginärteil.

Es gibt sicher zuhauf Beispiele wo dies gezeigt wird. ;-)
Frage beantwortet
Nina98

Nina98 aktiv_icon

11:33 Uhr, 22.11.2020

Antworten
Meine Lösung lautet:

36( cos(3pi/2) +i sin(3pi/2)
Antwort
Respon

Respon

11:34 Uhr, 22.11.2020

Antworten
Etwas fehlt noch.
( Siehe rundblick gestern 17:14)

... und dieses Ergebnis kannst du noch SEHR VIEL EINFACHER hinschreiben.
Antwort
Karl-Heinz001

Karl-Heinz001 aktiv_icon

11:57 Uhr, 22.11.2020

Antworten
cos(3pi/2) = 0
sin(3pi/2) = -1

Antwort
Respon

Respon

11:57 Uhr, 22.11.2020

Antworten
Was ist denn cos(3π2)  und  sin(3π2)?
... und 36=...
Antwort
Karl-Heinz001

Karl-Heinz001 aktiv_icon

12:13 Uhr, 22.11.2020

Antworten
3^6 = 729

Hast keinen Taschenrechner zur Hand?

3^6 = 3^3 * 3^3 = 27*27 = 729.
So was rechnet ich ohne Taschenrechner im Kopf. ;-)
Antwort
Karl-Heinz001

Karl-Heinz001 aktiv_icon

12:20 Uhr, 22.11.2020

Antworten
Im Prinzip wird ein Zeiger mit der Länge 3 und 45 Grad durch das Potenzieren mit 6 auf einen Zeiger mit der Länge 729 (=3^6) und einen Winkel von 270 Grad (= 6 * 45 Grad) abgebildet. Zeiger zeigt genau nach unten. Deshalb ist auch der Realteil 0 und der Imaginärteil negativ.

z^6 = -729 i
Antwort
Karl-Heinz001

Karl-Heinz001 aktiv_icon

12:56 Uhr, 22.11.2020

Antworten
@Respon

Upss sorry
Das kommt davon wenn man nicht liest wer kommentiert.

Du hast ja nach 3^6 ja nur als Hinweis gefragt.

Mit einem Handy hat man nicht so den Überblick.

Nochmals Entschuldigung
Bin neu hier und werde mir meinen Fehler hoffentlich merken.