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Formel von de Moivre und komplexe Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Ich benötige den Lösungsweg mit einer ausführlichen Rechnung

Nina98 aktiv_icon

17:09 Uhr, 21.11.2020

ich habe die Koordinatenform schon in die Polarkoordinatenform gebracht:

(3 {(cos (\frac{Π}{4}) + i \cdot sin (\frac{Π}{4}))}^{6}

Beim nächsten Schritt weiß ich leider nicht mehr weiter.
Die Aufgabe ist als Bild hochgeladen.

Vielen Dank im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

rundblick aktiv_icon

17:14 Uhr, 21.11.2020

.
"ich habe die Koordinatenform schon in die Polarkoordinatenform gebracht:"

ganz nebenbei:
du hast dabei dann

e i n e

Klammer zu wenig notiert .. :-)

"Beim nächsten Schritt weiß ich leider nicht mehr weiter."

\to

verwende hier die Exponentialform ..

mach mal

\to ... .

.
.

Nina98 aktiv_icon

18:20 Uhr, 21.11.2020

Leider habe ich diese Form noch nicht kennengelernt.
Hier aber meine Lösung:

z 1_{0} =

6Wurzel(3)*(

cos (\frac{Π}{24}) + i \cdot sin (\frac{Π}{24}))

Danach habe ich auf

\frac{Π}{24}

immer (2pi/6) addiert.

z 1_{1} =

6Wurzel(3)

\cdot (

cos(3pi/8)

+ i \cdot

sin(3pi/8)

usw. halt immer um 2pi/6 addiert bis

z 1_{5} =

6Wurzel(3)

\cdot

(cos(41pi/24)

+ i \cdot

sin(41pi/24)

Hoffe ist richtig so

rundblick aktiv_icon

18:49 Uhr, 21.11.2020

.
"Hoffe ist richtig so "

NEIN - wenn ich deine zu Beginn notierte Aufgabe lese, sehe ich dort nichts von Wurzelziehen?!

sondern dort steht doch

h o c h \to 6

(also potenzieren!) - ODER ?

.

de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Polarform

de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Exponentialform

de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz

.

Nina98 aktiv_icon

19:14 Uhr, 21.11.2020

Kann ich den binomischen Lehrsatz einfach hier dann anwenden?

rundblick aktiv_icon

19:23 Uhr, 21.11.2020

.
"Kann ich den binomischen Lehrsatz einfach hier dann anwenden?"

\to

ob du das kannst weiss ich nicht... :-)

\to

ich nehme aber an, dass du nicht die Summenform liefern sollst
.. die braucht man dann meist für Hochzahlen 2 oder

3,

um so dann zB trigonometrische Formeln
.. (zB

sin (3 x) = ...)

herzuleiten..

\to

verwende also für deine Aufgabe dies

\to

de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz

mach mal

\to . .

.

.

Nina98 aktiv_icon

19:28 Uhr, 21.11.2020

Achso die Potenz einfach als Faktor.
Vielen Dank
Schicke meine Lösung dann später rein

Karl-Heinz001 aktiv_icon

11:11 Uhr, 22.11.2020

Wenn ich eine komplexe Zahl z Potenzieren muß und n > 2 ist, dann gehe ich wie folgt vor.

Hinweis: Man kann sich eine komplexe Zahl auch als Zeiger in der komplexen Ebene vorstellen. In diesem Fall hat dann die komplexe Zahl z einen Radius r und einen Winkel phi.

Beim Potenzieren wird der Radius r mit n potenziert und der Winkel phi mit n multipliziert.

1) Also z von kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten umwandeln.
2) In Polarkoordinaten potenzieren.
3) Rücktransformation in kartesische Koordinaten mit Real und Imaginärteil.

Es gibt sicher zuhauf Beispiele wo dies gezeigt wird. ;-)

Karl-Heinz001 aktiv_icon

11:11 Uhr, 22.11.2020

Nina98 aktiv_icon

11:33 Uhr, 22.11.2020

Meine Lösung lautet:

3^{6} (

cos(3pi/2)

+ i

sin(3pi/2)

Respon

11:34 Uhr, 22.11.2020

Etwas fehlt noch.
( Siehe rundblick gestern

17 : 14)

. .

. und dieses Ergebnis kannst du noch SEHR VIEL EINFACHER hinschreiben.

Karl-Heinz001 aktiv_icon

11:57 Uhr, 22.11.2020

cos(3pi/2) = 0
sin(3pi/2) = -1

Respon

11:57 Uhr, 22.11.2020

Was ist denn

cos (\frac{3 \cdot π}{2})

und

sin (\frac{3 \cdot π}{2})

. .

. und

3^{6} = . .

Karl-Heinz001 aktiv_icon

12:13 Uhr, 22.11.2020

3^6 = 729

Hast keinen Taschenrechner zur Hand?

3^6 = 3^3 * 3^3 = 27*27 = 729.
So was rechnet ich ohne Taschenrechner im Kopf. ;-)

Karl-Heinz001 aktiv_icon

12:20 Uhr, 22.11.2020

Im Prinzip wird ein Zeiger mit der Länge 3 und 45 Grad durch das Potenzieren mit 6 auf einen Zeiger mit der Länge 729 (=3^6) und einen Winkel von 270 Grad (= 6 * 45 Grad) abgebildet. Zeiger zeigt genau nach unten. Deshalb ist auch der Realteil 0 und der Imaginärteil negativ.

z^6 = -729 i

Karl-Heinz001 aktiv_icon

12:56 Uhr, 22.11.2020

@Respon

Upss sorry
Das kommt davon wenn man nicht liest wer kommentiert.

Du hast ja nach 3^6 ja nur als Hinweis gefragt.

Mit einem Handy hat man nicht so den Überblick.

Nochmals Entschuldigung
Bin neu hier und werde mir meinen Fehler hoffentlich merken.

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