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Formelberechnung für Etikettenrolle

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Tags: Sonstig

Alex2101 aktiv_icon

09:16 Uhr, 10.06.2019

Hallo
ich soll für meinen Onkel eine Formel erstellen. Leider ist mein Bereich eher die Finanzmathe.

Es gibt eine Rolle, auf der Etiketten drauf sind (siehe Foto). Der Durchmesser und die anfangs enthaltenen Etiketten sind bekannt, bspw. d=210mm, Anzahl Etiketten sind bspw.

n = 3000

(jede Etikettenart hat aber unterschiedliche Anzahl Etiketten und

d

ist auch immer anders, daher brauchen wir eine Formel)
Die Rolle hat innen einen Karton, der den Durchmesser von 81mm hat. Dann ist die Etikettenanzahl 0.

Wir brauchen jetzt eine Formel, anhand derer wir bei einem kleineren Durchmesser die Anzahl der verbleibenden Etiketten berechnen können, wenn wir anfangs die Anzahl und den

d

der Rolle kennen.

Ich hoffe, dies ist verständlich und jemand kann uns helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

11:41 Uhr, 10.06.2019

Hallo,

folgende Größen verwende ich in meiner Formel:

r

: Innenradius (halber Innendurchmesser)

R

: Außenradius (halber Außendurchmesser)

d

: Dicke eines Etiketts

l

: Länge eines Etiketts (mit etwaigem Versatz, also Abstand zwischen zwei einander entsprechenden Punkten zweier aufeinanderfolgender Etiketten)

L

: Gesamtlänge

n

: Anzahl der "Windungen" (Schichten)

z

: Anzahl der Etiketten

Dann gilt:

z \cdot l = L = 2 π r + 2 π (r + d) + 2 π (r + 2 d) + \dots + 2 π (r + n \cdot d) = 2 π (\sum_{k = 0}^{n} r + k \cdot d)

\overset{(1)}{=} 2 π [(n + 1) r + \frac{n (n + 1)}{2} \cdot d] = 2 (n + 1) π [r + \frac{n \cdot d}{2}] \overset{(2)}{=} 2 (n + 1) π \frac{R + r}{2} = (n + 1) π (R + r)

\overset{(3)}{=} π (\frac{R - r}{d} + 1) (R - r)

So erhalten wir durch die Kette:

z = \frac{π (\frac{R - r}{d} + 1) (R - r)}{l}

Erinnerung:

z

ist die Anzahl der Etiketten. Sie basiert auf den Messgrößen Außenradius

R

, Innenradius

r

, Lagendicke

d

und Etikettenlänge

l

. Aufgrund der Tatsache, dass dieses Modell (kreisförmige Lagen statt spiralförmiger) vereinfacht ist und auf Messwerten basiert, ist die Anzahl fehlerbehaftet. Soll heißen: Es kommt nur ein ungefährer Wert heraus. (Klar, oder?)

Mfg Michael

anonymous

12:28 Uhr, 10.06.2019

Soweit ich ahnen lernen durfte, kennst du

>

den Außendurchmesser der vollen Rolle, nennen wir ihn "D"

>

den Innendurchmesser der Rolle, nennen wir ihn "d"

>

und die Anzahl an Etiketten der vollen Rolle, nennen wir sie "N_0".

Jetzt willst du wohl bei einer 'angebrochenen' Rolle errechnen, wie viele Etiketten denn noch zu erwarten sind.
Geben wir dem Durchmesser der 'angebrochenen' Rolle einen Namen, ich schlage vor: "x"

Am besten, du stellst dir hierunter die Fläche vor.
Die Rolle ist eine Kreisscheibe mit Loch.
Die Anzahl an Etiketten ist proportional zur verbleibenden Kreisfläche.

Kreisfläche der vollen Rolle:

A_{0} = \frac{π}{4} \cdot (D^{2} - d^{2})

Kreisfläche der 'angebrochenen' Rolle:

A (x) = \frac{π}{4} \cdot (x^{2} - d^{2})

Das kannst du nach der Anzahl verbleibender Etiketten umstellen:

N (x) = N_{0} \cdot \frac{x^{2} - d^{2}}{D^{2} - d^{2}}

Roman-22

12:44 Uhr, 10.06.2019

Bei MichaLs Formel musst du zusätzlich zu den dir bekannten Größen auch noch die Länge eines Etiketts und die Dicke eine Lage kennen, wobei es aber zwischen diesen beiden Größen einen Zusammenhang gibt.

Unter ausschließlicher Verwendung der dir bekannten Größen und unter Verwendung der von dir eingeführten Bezeichnungen

d . .

. Durchmesser der vollen Rolle

n . .

. Anzahl der Etiketten auf einer vollen Rolle

und zusätzlich

k . .

. Durchmesser der Kernkartonrolle

(81 m m)

δ . .

. aktueller Durchmesser der Rolle

komme ich auf folgende Näherungsformel für die Anzahl der noch verbleibenden Etiketten:

R e s t a n z a h l = \frac{n \cdot (δ - k) \cdot [π \cdot (δ - k) + 2 \cdot k)}{(d - k) \cdot [π \cdot (d - k) + 2 \cdot k]}

Du kannst ja mal empirische Untersuchungen anstellen um zu prüfen, ob die Formel hinkommt. Für die Extreme "volle Rolle" und "leere Rolle" liefert sie jedenfalls die richtigen Ergebnisse.

Wenn du dir die Formel oder die Grafik (unter Zugrundlegung der von dir genannten Testdaten) unten ansiehst, so erkennst du einen quadratischen Zusammenhang zwischen Außendurchmesser

δ

und Anzahl der verbleibenden Etiketten. Die Kurve ist eine Parabel.
Du könntest in Betracht ziehen, diese Parabel durch eine simple Gerade zu ersetzen (im Bild grün) und die Anzahl der verbleibenden Etikette quasi durch lineare Interpolation zu ermitteln. Klarerweise wirst du damit immer Werte erhalten, die zu groß sind, für die Zwecke deines Onkels aber möglicherweise ausreichend wären.
Die größte Abweichung würde sich hier (mit deinen Testwerten) bei einem Außendurchmesser von

145,5

mm ergeben und ca.

536

Stück betragen, um die die lineare Näherung zu viel ausgeben würde (ca.

964

vs.

1500)

.
Der Vorteil wäre die einfachere Formel:

R e s t = \frac{n}{d - k} \cdot (δ - k)

Roman-22

12:53 Uhr, 10.06.2019

Wie ich sehe hat die Elfe während ich geantwortet habe ihre Antwort hier eingestellt.
Ihre Formel scheint einen guten Kompromiss darzustellen.
Ich hab sie dir zusätzlich noch in rot in die Zeichnung eingetragen.
Du kannst nun selbst durch empirische Untersuchungen entscheiden, welche Formel für deine Zwecke bzw. die deines Onkels am besten geeignet ist.

Alex2101 aktiv_icon

07:23 Uhr, 20.06.2019

Hi

Ich habe das diese Woche mal an cirka

20

verschiedenen Rollen probiert, die Formel von Elfe ist dazu die genaueste mit einer Abweichung von

\pm 100 - 150

Etiketten. SG

Roman-22

09:34 Uhr, 20.06.2019

Prima! Dann kannst du den Thread ja vermutlich abhaken

EDIT. Ah! Schon passiert ;-)

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