Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Fouriertransform mit kompl. Partialbruchzerlegung

Fouriertransform mit kompl. Partialbruchzerlegung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Tags: Fourier Transformation, Funktionalanalysis, Integralrechnung

wosw7090 aktiv_icon

18:56 Uhr, 28.11.2023

Guten Abend,

Ich arbeite gerade an einer Teilaufgabe in der ich eine Fouriertransformation durchführen muss. Das Thema kann ich eigentlich. Bei dieser Funktion komme ich aber nicht weiter.
Folgende Funktion soll tranfsformiert werden.

f (x) = \frac{4}{5 - 2 x + x^{2}}

Eine Partialbruchzerlegung führt mich nicht viel weiter denn es gibt nur zwei kompl. Polstellen.

λ_{1} = 1 - 2 i

λ_{2} = 1 + 2 i

Damit komme ich auf die PBZ:

\frac{4}{5 - 2 x + x^{2}} = \frac{i}{x - 1 + 2 i} - \frac{i}{x - 1 - 2 i}

diese habe ich mit wolframalpha kontrolliert, sollte also stimmen. Leider kann ich damit immer noch nicht das Integral für die Fouriertransformation lösen.

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{i}{t - 1 + 2 i} \cdot e^{- i \cdot w \cdot t} d t - \int_{- \infty}^{\infty} \frac{i}{t - 1 - 2 i} \cdot e^{- i \cdot w \cdot t} d t

Gibt es einen anderen Weg welchen ich gehen kann, um

f (x)

zu transformieren?

Danke schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

20:12 Uhr, 29.11.2023

Hallo,

wenn du eine Formel benötigst für das Integral, dann ist

\int \frac{1}{x^{2} + 2 a x + b^{2}} d x = \frac{1}{\sqrt{b^{2} - a^{2}}} \arctan (\frac{x + a}{\sqrt{b^{2} - a^{2}}}) + C

Gruß
pivot

Roman-22

00:46 Uhr, 30.11.2023

@pivot
Ich sehe jetzt nicht wo man dieses Integral benützen sollte und inwiefern es bei der Fouriertransformation helfen könnte?

pivot aktiv_icon

01:34 Uhr, 30.11.2023

Ich auch nicht. Der Post klingt für mich danach, dass das Teilintergral u.U. ihm schon helfen würde.

wosw7090 aktiv_icon

08:22 Uhr, 30.11.2023

Danke für die Antwort. Ich hatte schon die Befürchtung, dass gar nichts mehr kommt :-)

Mir fällt auch nicht ein wie das Teilintegral mir helfen würde. Ist aber eine ganz nette Formel die ganz nützlich zu sein scheint.

Ich habe eine Lösung, bei der ich mir aber nicht ganz so sicher bin ob sie so stimmt.
Ich habe den Residuensatz verwendet und dann gezeigt, dass der komplexe Teil des Weges gegen null geht. Ich Versuche das heute Abend zu Posten wenn ich die Zeit finde.

wosw7090 aktiv_icon

22:14 Uhr, 05.12.2023

Anbei befindet sich ein Bild von meiner Vorgehensweise. Ich bin mir nicht sicher, dass das so passt. Würde mich freuen wenn ich da evtl noch einen Tipp bekommen kann ob das so passt.

Dankeschön.

SmartSelect_20231205_221023_Samsung Notes

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1579631

1579385

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?