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Fourier-Analyse bei abschnittsweise def. Funktion

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Tags: Funktionalanalysis, Integration, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

lukas--- aktiv_icon

20:50 Uhr, 05.02.2017

Hi,
ich versuche die folgende Aufgabe zu lösen:
Bestimmen Sie die komplexe Fourier-Reihe von

f :

ℝ \to ℝ

f (x) = {\begin{cases} sin (t) & f ü r 0 \leq t < π \\ 0 & f ü r π \leq t < 2 π \end{cases}

T =

2pi

Mein Ansatz bis jetzt:

c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (x) e^{- j n x} d x

Ich bin mir aber an dieser Stelle nicht sicher wie ich mit der abschnittsweise definierten Funktion umgehe. Muss ich das Integral in 2 Teile aufteilen die vom Intervall her dann den Bedingungen der Funktionsdefinition entsprechen?
Also dann

c_{n} = \frac{1}{2 π} (\int_{0}^{π} f (x) e^{- j n x} d x + \int_{π}^{2 π} 0 \cdot e^{- j n x} d x)

?
Kann mir jemand sagen ob das richtig ist oder es noch Alternativen dazu gibt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

20:56 Uhr, 05.02.2017

Dein Ansatz ist schon richtig so.
Nur solltest du dich mit dir selbst einigen, ob die unabhängige Variable nun

x

oder vl doch

t

heißen soll ;-)

lukas--- aktiv_icon

00:03 Uhr, 06.02.2017

Hab jetzt rausbekommen:

c_{n} = {[\frac{e^{- j n t} (j n sin (t) + cos (t))}{n^{2} - 1}]}_{0}^{π} = \frac{- e^{- j n π} + 1}{n^{2} - 1}

und eingesetzt:

f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{- e^{- j n π} + 1}{n^{2} - 1} e^{j n t}

Mir kommt das etwas komisch vor dass bei

n = \pm 1

der Bruch nicht berechnet werden kann oder kann das bei einer Fourier-Reihe schon mal vorkommen?

Roman-22

00:20 Uhr, 06.02.2017

Da hast du wohl den Faktor

\frac{1}{2 π}

verloren und das Minuszeichen gehört entweder vor den Bruchstrich, oder zusätzlich auch noch vor die 1 im Zähler.

Und ja, es ist schon möglich, dass das allgemeine Integral für manche

n

nicht gültig ist und für diese

n

eben extra berechnet werden muss.

Im konkreten Fall ergibt sich für

n = + 1

eben

c = - \frac{j}{4}

und für

n = - 1

dann

c = + \frac{j}{4}

.

Es genügen schon sehr wenige Glieder um diese Halbwellengleichrichtung einigermaßen gut zu nähern - siehe Plot.

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