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Fourier-Entwicklung von coth(x)

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Fourier-Reihenentwicklung, Gewöhnliche Differentialgleichungen

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14:12 Uhr, 23.01.2015

Ich versuche, die Fourier-Reihenentwicklung der Funktion

cot h (x)

bis zur 2. Ordnung nachzuvollziehen.

Ich weiss, dass das Resultat

\frac{1}{x} + \frac{x}{3}

ergibt.

Ein Ansatz war,

cot h (x)

umzuschreiben:

cot h (x) = 1 + \frac{2}{e^{2 x} - 1}

und dann nur die Funktion

e^{2 x}

zu entwickeln. Damit komme ich aber nicht aufs Resultat. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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14:17 Uhr, 23.01.2015

Fourier? Oder doch Laurent?

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14:19 Uhr, 23.01.2015

Da ich die Antwort weiß, hier der Hinweis (aus dem Netz):
You can find the Taylor series of

x \cdot c o t h (x)

by taking derivatives, and divide by

x

then.

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14:23 Uhr, 23.01.2015

Danke für die Antwort.

Die Ableitung wovon nehmen?

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14:27 Uhr, 23.01.2015

Welche Ableitungen brauchst Du, um das Taylorpolynom der Ordnung

3

für

x \cdot c o t h (x)

zu berechnen?

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14:30 Uhr, 23.01.2015

Ich such doch die 2. Ordnung von

cot h (x)

nicht die 3. Ordnung von

x cot h (x)

.

Für die zweite Ordnung müsste man die erste und die zweite Ableitung von

cot h (x)

berechnen. Das Problem ist dort, dass man, wenn an der Stelle

x = 0

entwickelt wird, einen ungültigen Wert enthält und zwar schon bei der 0. Ordnung der Funktion.

Die 0. Ordnung der Taylor-Reihe wäre:

1 + \frac{2}{e^{2 x} - 1}

Wenn man nun den Wert

x = 0

einsetzt, ist dieser Term nicht definiert.
Also muss es irgend einen anderen Weg geben.

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14:32 Uhr, 23.01.2015

Ich meine das Taylorpolynom im Punkt

x = 0

.
Aber ich komme auf

x = 0

nur weil ich die Antwort kenne, normalerweise musst Du das sagen. Und natürlich nicht "Fourierreihe" schreiben, wenn es um Laurentreihe geht.

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14:42 Uhr, 23.01.2015

Ja, der Witz ist, dass wir die Laurentreihe nicht in der Vorlesung hatten. Es gehört nicht zum Vorlesungsstoff.

Wikipedia verweist in en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series#Convergent_Laurent_series
ebenfalls bei Funktionen, die an einer Stelle nicht definiert sind, auf die Taylor-Entwicklung (letzter Abschnitt).

Nun das hilft mir leider nicht weiter.
Wie man auf die Lösung kommt weiss ich immer noch nicht.

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14:49 Uhr, 23.01.2015

"Ich such doch die 2. Ordnung von nicht die 3. Ordnung von ."

Dank überlege, wie sie zusammenhängen.

"Für die zweite Ordnung müsste man die erste und die zweite Ableitung von berechnen. Das Problem ist dort, dass man, wenn an der Stelle entwickelt wird, einen ungültigen Wert enthält."

Ja, einsetzen direkt geht nicht, man muss über Grenzwert gehen.
Z.B.

lim_{x \to 0} x \coth (x) = lim_{x \to 0} x (1 + \frac{2}{e^{2 x} - 1}) = lim_{x \to 0} \frac{2 x}{e^{2 x} - 1} = 1

nach der Regel von L'Hospital. Analog kannst Du auch die ersten drei Ableitungen berechnen.

"Die 0. Ordnung der Taylor-Reihe wäre:"

Keinesfalls. Das ist gar kein Taylorpolynom.

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14:51 Uhr, 23.01.2015

Danke, auf den Ansatz wäre ich nicht gekommen.

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14:58 Uhr, 23.01.2015

Falls der Weg über Grenzwerte für Dich zu kompliziert ist,
hier eine Alternative über die Reihenentwicklung von

e^{x}

\coth (x) = 1 + \frac{2}{e^{2 x} - 1} = 1 + \frac{2}{(1 + 2 x + (2 x)^{2} / 2! + (2 x)^{3} / 3! + . . .) - 1} = 1 + \frac{2}{2 x + (2 x)^{2} / 2! + (2 x)^{3} / 3! + . . .} =

= 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 + x + 2 x^{2} / 3 + . . .} = 1 + \frac{1}{x} \cdot (1 - x + x^{2} / 3 + . . .)

,

weil

(1 + x + 2 x^{2} / 3 + . . .) (1 - x + x^{2} / 3 + . . .) = 1 + o (x^{2})

1212932

1212921

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