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Fourier-Reihe

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Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen

couman990 aktiv_icon

15:47 Uhr, 17.05.2019

Hallo zusammen,

es soll zur Funktion

f (x) = cos (x) + 1

die zugehörige Fourier-Reihe bestimmt werden.

zunächst habe ich nun

a 0

bestimmt:

\frac{a 0}{2} = \frac{1}{2 \cdot π} \int_{- π}^{π} (cos (x) + 1) d x

a 0 = 2

f (x)

eine gerade Funktion ist, gilt:

f (x) = f (- x)

Das bedeutet bn

= 0

Nun wollte ich an bestimmen, wobei ja gilt:

an

= \frac{2}{π} \cdot \int_{0}^{π} f (x) cos (n \cdot x) d x

= \frac{2}{π} \cdot \int_{0}^{π} (cos (x) + 1) \cdot cos (n \cdot x) d x

= \frac{2}{π} \cdot [- \frac{sin (π \cdot n)}{n^{3} - n}]

demnach wäre an= 0 ?

Wo liegt mein Denkfehler ?

Danke im Voraus !

Roman-22

16:03 Uhr, 17.05.2019

Du hast alles richtig gerechnet, hättest dir aber die ganze Arbeit sparen können.
Deine Berechnung von

a_{n}

ist nur gültig für

n \neq 1

.
Für

n = 1

hättest du eine Division durch Null und daher musst (müsstest) du

a_{1}

gesondert berechnen und es sollte dir

a_{1} = 1

rauskommen. Für

n > 1

gilt tatsächlich

a_{n} = 0

.

Aber was ist denn eine Fourier-Reihe? Eine Summe aus einem konstanten Gleichanteil und eine Reihe von Sinus- und Kosinusschwingungen.

Und was ist deine Angabefunktion

f (x) = cos x + 1

? Genau das! Der Funktionsterm IST ja bereits eine Fourier-Reihe. Eben mit Gleichanteil

\frac{a_{0}}{2} = 1

und

a_{1} = 1

und alle anderen Koeffizienten sind Null. Eine Rechnung erübrigt sich also!

couman990 aktiv_icon

16:09 Uhr, 17.05.2019

ok danke. Wie kann ich denn

a 1

gesondert berechnen ?
Heißt das gleichzeitig, dass das sum wegfällt hinsichtlich der Darstellung als Fourierreihe ?

Roman-22

16:20 Uhr, 17.05.2019

>

ok danke. Wie kann ich denn

a 1

gesondert berechnen ?
Na, indem du

n = 1

setzt und damit eben

a_{1} = \frac{2}{π} \cdot \int_{0}^{2 π} [f (x) \cdot cos x] d x = ... = 1

berechnest.

>

Heißt das gleichzeitig, dass das sum wegfällt
?????

>

hinsichtlich der Darstellung als Fourierreihe ?

Die Darstellung von

f (x)

als Fourier-Reihe lautet:

f (x) = 1 + cos (x)

.

Es hätte wenig Sinn hinzuzufügen

... + 0 \cdot sin (x) + \sum_{n = 2}^{\infty} (0 \cdot cos (n \cdot x) + 0 \cdot sin (n \cdot x))

couman990 aktiv_icon

17:43 Uhr, 17.05.2019

ok das hätte ich verstanden, danke !

Wenn man jetzt die komplexe Fourier-Reihe dieser Funktion bestimmen müsste, wie würde man dann vorgehen ?

Ff(x)=

\sum (- \infty, \infty) c \cdot e^{i \cdot n \cdot x}

c = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot \int_{0}^{π} (cos (x) + 1) d x

f = cos (x) + 1;

f´=-sin(x)

g = \frac{1}{i \cdot n} \cdot e^{i \cdot n \cdot x};

g´=

e^{i \cdot n \cdot x}

c = \frac{1}{2 \cdot π} [((cos (x) + 1) \cdot \frac{1}{i \cdot n} \cdot e^{i \cdot n \cdot x}) [\begin{matrix} π \\ 0 \end{matrix}] - \int_{0}^{π} - sin (x) \cdot \frac{e^{i \cdot n \cdot x}}{i \cdot n} d x]

So jetzt weiß ich nicht mehr wie ich zielführend weiter machen soll ?

Roman-22

18:38 Uhr, 17.05.2019

Wozu der Aufwand?

Verwende einfach

cos x = \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot x} + e^{- i \cdot x})

f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{i \cdot (- 1) \cdot x} + 1 \cdot e^{i \cdot 0 \cdot x} + \frac{1}{2} \cdot e^{i \cdot 1 \cdot x}

Also

c_{0} = 1, c_{- 1} = c_{1} = \frac{1}{2}

und alle anderen

c_{k} = 0

für

k \in ℤ

mit

| k | > 1

couman990 aktiv_icon

18:56 Uhr, 17.05.2019

ok, danke.

Den letzten Schritt verstehe ich nicht ganz, wie kommt man darauf?

Roman-22

18:58 Uhr, 17.05.2019

Welchen Schritt?

Die

c_{k}

werden einfach abgelesen.

couman990 aktiv_icon

19:01 Uhr, 17.05.2019

also nochmal für mein verständnis:

Man stellt quasi zunächst den cosinus durch kompplexe Zahlen dar (Euler).

Dann erhält man folglich die Funktion

f (x)

.

Ich hätte jetzt

\int_{- π}^{π} f (x) d x

gerechnet oder ist das unnötig ?

Roman-22

19:17 Uhr, 17.05.2019

Ja, jedwege Rechnung ist hier unnötig (so wie für die reelle Fourier-Reihe), weil die Angabefunktion eben bereits eine Summe aus Gleichanteil und Schwingung ist.

Aber natürlich kannst du es "klassisch" nachrechnen.
Dabei solltest du aber jeweils von

- π

bis

π

integrieren und das Integral aufteilen in

2 π \cdot c_{k} = \int_{- π}^{π} e^{i k x} d x + \int_{π}^{π} cos x \cdot e^{i k x} d x

Das erste Integral ist für

k = 0

gleich

2 π

und verschwindet für alle anderen

k \in ℤ

Das zweite Integral löst du durch zweimalige partielle Integration un dkommst damit auf eine Gleichung in diesem Integral, welches du nach dem Integral löst.
Dabei entsteht eine Division durch

(1 - k^{2}),

was bedeutet, dass die Umformung für

k = \pm 1

ungültig ist und du die Fälle

k = \pm 1

getrennt berechnen musst.
Für

| k | > 1

ist das bestimmte Integral immer Null.

couman990 aktiv_icon

20:19 Uhr, 17.05.2019

Ok das verstehe ich, nur wieso kann man das auch direkt ablesen, das erschließt sich mir noch nicht ganz.

Roman-22

22:41 Uhr, 17.05.2019

Wenn du wie oben vorgeschlagen im Funktionsterm

cos x

ersetzt durch

\frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot x} + e^{- i \cdot x})

und dann ein wenig umordnest kommst du auf den Term, denn ich dort mit

f (x) = . .

. angegeben hatte und den ich absichtlich so ein wenig eigenartig aufgeschrieben hatte. Du siehst dort, dass es einen Term mit

e^{i \cdot (- 1) \cdot x}

gibt und dessen Koeffizient ist eben das

c_{- 1} = \frac{1}{2}

. Ebenfalls siehst du einen Term mit

e^{i \cdot (0) \cdot x}

(ja, das ist die 1 aus dem Angabeterm

1 + cos x)

und einen mit

e^{i \cdot (1) \cdot x}

. Außerdem ist klar, dass es keine weiteren Terme gibt, dass also außer

c_{- 1} = \frac{1}{2}, c_{0} = 1

und

c_{1} = \frac{1}{2}

alle anderen Koeffizienten

c_{k} = 0

sind.

couman990 aktiv_icon

00:48 Uhr, 18.05.2019

Ok, jetzt habe ich es verstanden.

Ich hätte noch eine weitere Frage:

g (x) = x \cdot e^{x}; g : [0, 2 \cdot π) \to R

Wenn man hierbei zunächst die reelle Fourier-Reihe bestimmen möchte, muss man ja zunächst wieder überprüfen ob

g (x)

gerade / ungerade ist. Die Funktion ist allerdings weder gerade noch ungerade. Das bedeutet, dass man an und bn berechnen muss. Wenn ich diese bestimmen möchte (wieder durch Integration etc.) dann erhalte ich sehr komplizierte Werte bzw. unschöne Ergebnisse. Gibt es hier auch einen effizienteren Weg ?

Roman-22

01:41 Uhr, 18.05.2019

Nicht immer gibts Abkürzungen.
Die Koeffizienten für diese Aufgabe sind in der Tat nicht sonderlich "hübsch".
Siehe Anhang

couman990 aktiv_icon

13:45 Uhr, 18.05.2019

ok danke.

Wenn ich nun zuerst die komplexe Fourier-reihe bestimme, dann könnte ich ja aus den komplexen Koeffizienten die reellen Koeffizienten bestimmen ? Nur wie muss ich vorgehen, um hier zunächst die komplexe Darstellung zu erhalten ?

Nochmal kurz zum Verständnis:

Ff(x)

= \sum_{i = - \infty}^{\infty} c \cdot e^{- (i \cdot n \cdot x)}

Das heißt rückblickend auf die erste Aufgabe in der Fourier Reihe der Term

\frac{1}{2} \cdot e^{- 1 \cdot x \cdot i}

vorkommt, wäre ja

c (1) = \frac{1}{2}

und nicht

c (- 1)

oder (falls sich

c (1)

und

c (- 1)

unterscheiden, was ja hier nicht der Fall war ) ?

Roman-22

14:33 Uhr, 18.05.2019

>

Nur wie muss ich vorgehen, um hier zunächst die komplexe Darstellung zu erhalten ?
Ganz normal nach "Kochrezept". Allerdings muss in deiner Summe das

n

die Laufvariable sein, nicht die imaginäre Einheit, und das

c

ist kein simples

c,

sondern ein

c_{n},

ist also vom Laufindex abhängig. Und wie man die

c_{n}

berechnet wird dir ja vermutlich bekannt sein. Hübscher wird das Ergebnis in der komplexen Darstellung ja auch nicht.

Und,ja, natürich kannst du jederzeit aus der komplexxe Darstellung die reelle generieren und umgekehrt.
Siehe zB
vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Fourieranalysis/Folien_Zusammenhang_komplexer_und_reeller_Fourier-Reihen.pdf
oder
http//www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_12/ma_12_02/ma_12_02_04.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_12/ma_12_02/ma_12_02_11.vscml.html

couman990 aktiv_icon

16:42 Uhr, 18.05.2019

der komplette sinus-term wird ja 0 für

n E N

.

Daraus ergibt sich, wenn man

cos (n \cdot π)

als

{(- 1)}^{n}

annimmt:

\frac{e^{- π} \cdot (- n \cdot (π \cdot e^{2 \cdot π} \cdot n^{2} + π \cdot n^{2} + π \cdot e^{2 \cdot π} - 2 \cdot e^{2 \cdot π} + π + 2) \cdot {(- 1)}^{n})}{{(n^{2} + 1)}^{2}}

(das erhalte ich für das Integral bei bn)

\frac{e^{- π} \cdot (+ ((π \cdot (e^{2 \cdot π} + 1) + e^{2 \cdot π} - 1) \cdot n^{2} + π \cdot (e^{2 \cdot π} + 1) - e^{2 \cdot π} + 1) \cdot {(- 1)}^{n})}{n^{4} + 2 \cdot n^{2} + 1}

(das erhalte ich als Integral bei an)

Nur ich komme nicht auf die Lösung, welche auf dem Bild gezeigt wird.

Habe ich einen Fehler gemacht bzw. hätte man noch etwas vereinfachen können ?

Edit: Ich habe meinen Fehler gefunden, man muss ja das Intervall

[0; 2 \cdot π]

betrachten.

Wenn ich jetzt die komplexe Fourier-Reihe bestimmen möchte, indem ich umrechne, dann muss ich ja die angegebenen Formeln verwenden. Was mich nur verwirrt ist, warum zwischen ck und

c - k

bzw.

c 0

unterschieden wird. Reicht es nicht nur ck zu bestimmen, weil in der Komplexen Fourier-Reihe kommt ja nur ein cn bzw. ck vor ?

Roman-22

00:59 Uhr, 19.05.2019

Wie du vermutlich selbst schon bemerkt hast, hast du mit deinen überlangen Formeln
in einem letzten Beitrag die Darstellung der Beiträge zerstört, sodass diese wegen
des falsch gesetzten Zeilenumbruchs nur mehr partiell lesbar und verständlich sind.

Ich weiß nicht, ob ich deine Frage im letzten Absatz richtig interpretiere. Jedenfalls gilt, dass

c_{- n}

die konjugiert komplexe zu

c_{n}

ist und somit reicht es natürlich, die

c_{n}

nur für positive

n

zu ermitteln.

Versuch mal, ob du deinen Beitrag unter

noch editieren und damit den Thread reparieren kannst.

couman990 aktiv_icon

01:38 Uhr, 19.05.2019

Ok danke, ja das mit den langen Formeln war sehr ungünstig, das kam dadurch zustande, dass ich fälschlicherweise von

- π

bis

π

integrieren wollte.

Ja die Frage hat sich auf die verlinkte Seite bezogen, weil ich hier

c 0

und

c - n

bzw cn gesondert aufgeführt wurden.

also theoretisch würde es ja reichen wenn ich einfach die von Ihnen aufgezeigten Terme verwende und dann quasi einsetze:

c n = \frac{1}{2} \cdot (a (n) - i \cdot b (n))

c (- n) = \frac{1}{2} \cdot (a (n) + i \cdot b (n))

Für

a (n)

und

b (n)

werden dann entsprechend die langen terme eingesetzt. Muss man hierbei ein

c 0

bestimmen bzw. wofür benötigt man dieses, weil die Formel ist im komplexen ja prinzipiell ohne ein

c 0

(vergleich zu

\frac{a 0}{2}

im Reellen) gegeben. Wenn ich nun eingesetzt habe, dann kann man ja nicht viel vereinfachen , oder ? Wie würde die komplexe Fourierreihendarstellung final aussehen, wenn ich diese nach dem Prinzip

\sum_{i = - \infty}^{\infty} c (n) \cdot e^{- i \cdot n \cdot x}

darstellen will? Muss ich das Intervall "aufteilen" für negative Werte von

n

und positive Werte von

n

Roman-22

11:28 Uhr, 19.05.2019

>

Ok danke, ja das mit den langen Formeln war sehr ungünstig, das kam dadurch zustande, dass ich fälschlicherweise von −π bis π integrieren wollte.
Das wär ja nicht falsch, sofern du beachtest, dass du im Intervall von

- π

bis 0 die "verschobene" Funktion mit dem Funktionsterm

(x + 2

pi)*e^(x+2pi) verwenden musst.

>

also theoretisch würde es ja reichen wenn ich einfach die von Ihnen aufgezeigten Terme verwende und dann quasi einsetze:
Ja

>

Muss man hierbei ein

c 0

bestimmen bzw. wofür benötigt man dieses, weil die Formel ist im komplexen ja prinzipiell ohne ein

c 0

Wie kommst du auf diese Idee? Die Summe läuft von

- \infty

bis

+ \infty

und da ist 0 doch wohl auch mit dabei. Natürlich gibts das

c_{0}

und es berechnet sich wie alle anderen durch

c_{\pm 0} = \frac{1}{2} \cdot (a_{0} \pm i \cdot b_{0}) = \frac{a_{0}}{2},

da ja immer

b_{0} = 0

gilt und somit

c_{0}

auch immer reell ist.

>

nicht viel vereinfachen , oder ?
Siehe Anhang, da hab ich es nativ, also mit dem Integral, berechnen und Real- und Imaginärteil getrennt darstellen lassen.

>

Wie würde die komplexe Fourierreihendarstellung final aussehen, wenn ich diese nach dem Prinzip ∑i=−∞∞c(n)⋅e−i⋅n⋅x darstellen will?
Genau so, wie du es gerade mit der Summe geschrieben hast. Eben mit Verweis auf die vorhin ermittelten

c_{n}

>

Muss ich das Intervall "aufteilen" für negative Werte von

n

und positive Werte von

n

?
Warum möchtest du das machen?

couman990 aktiv_icon

12:24 Uhr, 19.05.2019

ok danke !

Was mich nur verwirrt ist, dass

c (- n) = \frac{1}{2} \cdot ((a (n) + i \cdot b (n)),

also dass komplex konjugierte von

c (n)

. Wenn ich in

c (n)

aber negative Zahlen für

n

einsetze, weil das Intervall ja von

- \infty

bis

+ \infty

geht, dann erhalte ich ja nicht das komplex konjugierte von

c (n)

durch das negative Vorzeichen.Oder unterliege ich hier einem Denkfehler ?

Roman-22

12:29 Uhr, 19.05.2019

>

Wenn ich in

c (n)

aber negative Zahlen für

n

einsetze, weil das Intervall ja von −∞ bis +∞ geht, dann erhalte ich ja nicht das komplex konjugierte von

c (n)

Doch! Sie dir die Terme für Real- und Imaginärteil von

c_{n}

in meinem Bild nochmals an!
Re(c_n) ist eine Gerade Funktion in

n, d . h

n

tritt nur in der Form

n^{2}

und

n^{4}

auf (der Nenner wurde da nicht zu

2 π {(n^{2} + 1)}^{2}

zusammemgefasst.
Im(c_n) ist aber eine ungerade Funktion. Beachte den Faktor

n

gleich am Anfang des Zählers.
Also ändert bei

n \to - n

der Realteil sein Vorzeichen nicht, der Imaginärteil aber sehr wohl.

couman990 aktiv_icon

12:37 Uhr, 19.05.2019

Ok ja jetzt habe ich es verstanden danke.

Wenn ich

c (n)

im gesamten darstellen möchte, dann muss ich einfach Re

(c (n)) -

i*Im

(c (n))

schreiben, oder gilt es hier auch noch etwas zu beachten

(-

oder

+

zwischen Realteil und Imaginärteil) ? Mich verwirrt hierbei wie das

i

in den Exponenten bei

z . b

c 2

gelangt ?

Roman-22

16:08 Uhr, 19.05.2019

>

Wenn ich

c (n)

im gesamten darstellen möchte, dann muss ich einfach Re (c(n))− i*Im

(c (n))

schreiben
Ja, und das gilt dann für alle

n \in ℤ \ {\pm 1}

EDIT: Es gilt natürlich für alle

n \in ℤ!

>

Mich verwirrt hierbei wie das

i

in den Exponenten bei

z . b

c 2

gelangt ?
Das ist nur die Art und Weise, wie mein CAS eben den Ausdruck automatisch kompakter zusammenfasst. Muss man ja nicht so machen - ist auch unnötig und kontraproduktiv, denn zB gilt

e^{(2 - 4 i) \cdot π} = e^{2 π}

. Schließlich ist

e^{- 4 i π} = 1

. Das Programm ist weit davon entfernt, perfekt zu sein ;-)

Beachte aber, dass

c_{\pm 1}

eine Sonderstellung haben und durch den allgemeinen in

n

gegebenen Ausdruck NICHT dargestellt werden, wie oben schon geschrieben.
EDIT Falsch!

n = \pm 1

haben KEINE Sonderstellung

couman990 aktiv_icon

16:29 Uhr, 19.05.2019

Ja , ich verstehe nur nicht wie das

i

in den Exponenten gelangt, weil man hat ja die Darstellung

c (n) = \frac{1}{2}

*(an - i*bn),

d . h

. das

i

ist ja eigentlich nur ein "Vorfaktor".

Das verstehe ich noch nicht so ganz, warum

c 0

und

c 1

bzw

c - 1

eine Sonderstellung haben ?

Roman-22

16:40 Uhr, 19.05.2019

Was das

i

im Exponenten anlangt, so hab ich oben noch ergänzt. Du kannst es getrost ignorieren - es ist nur der Unzulänglichkeit des verwendeten Programms geschuldet.

Von einer Sonderstellung von

c_{0}

hab ich nie etwas geschrieben.

Und was

n = \pm 1

anlangt, so versuch doch mal selbst, in den Ausdruck für

c_{n}

einen dieser Werte einzusetzen (fang damit an Besten im Nenner an ;-)
EDIT

. .

. und schon sieht man, dass meine Behauptung,

n = \pm 1

erforderten eine Sonderbehandlung falsch war

: - (

couman990 aktiv_icon

16:43 Uhr, 19.05.2019

ok alles klar. Im Nenner stellt das doch kein problem dar, oder ?

Roman-22

16:47 Uhr, 19.05.2019

>

ok alles klar. Im Nenner stellt das doch kein problem dar, oder ?
Ooops! Nein, kein Problem. Nur wenn man, so wie ich die ganze Zeit, fälschlicherweise