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Fourier Reihe

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Folgen und Reihen

Funktionenreihen

Tags: Folgen und Reihen, Fourier-Reihenentwicklung, Funktionenreihen

simplyme aktiv_icon

09:57 Uhr, 14.08.2020

Hallo,
ich bräuchte Ihre Hilfe bei dieser Aufgabe:
Es sei

f : ℝ

→

ℝ

die gerade, 2π-periodische Funktion mit

f (x) = x

für 0≤x≤pi

a .)

berechnen Sie die reele Fourier-Reihe von

f

.

Die Formel für die Reihenentwicklung ist ja

f (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \cdot

cos(kt)

+ b_{k} \cdot

sin(kt)

um

c_{0} = \frac{a_{0}}{2}

zu berechnen, lautet die Formel

\frac{1}{T} \cdot \int_{x = 0}^{T} f (x) d x,

das würde ja

\int_{x = 0}^{2 \cdot π} \frac{1}{2 \cdot π} x \cdot d x = π

machen.
In der Lösung steht aber

C_{0} = \int_{x = - π}^{π} | x | d x = \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{π} x \cdot d x = \frac{π}{2}

.
Aber warum kommt das mit der herkömmlichen Formel nicht raus?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:08 Uhr, 14.08.2020

Du integriert einfach eine falsche Funktion.
Deine ist

x

auf

[0, 2 π)

und

2 π

-periodisch, daher hast du z.B.

f (- 0.1) = f (2 π - 0.1) = 2 π - 0.1 \neq 0.1 = f (0.1)

.
Also ist sie nicht gerade.
Aber in der Bedingung steht, dass sie gerade sein muss.
Richtige Funktion ist

∣ x ∣

auf

[- π, π)

simplyme aktiv_icon

11:21 Uhr, 14.08.2020

Achsooo vielen Dank.
Und noch eine Frage, die Integralgrenze lautet ja nach der Formel

\int_{0}^{T},

also

\int_{0}^{2 \cdot π}

. Ist es irrelevant, ob ich

\int_{0}^{2 \cdot π}

oder

\int_{- π}^{π}

nehmen?

Roman-22

11:32 Uhr, 14.08.2020

>

Ist es irrelevant, ob ich ∫02⋅π oder ∫-ππ nehmen?
Wesentlich ist nur, dass du über eine volle Periode integrierst und da ist hier

[- π; π)

deutlich einfacher.
Anstelle von

\int_{0}^{T}

sollte es allgemein daher besser

\int_{t_{0}}^{t_{0} + T}

lauten.
Bei symmetrischen Funktionen kannst du auch Vereinfachungen benutzen. Bei einer geraden Funktion treten keine Sinusanteile auf, daher kannst du auf die Berechnung der

b_{k}

verzichten, sie sind Null. Und bei der Berechnung der

a_{k}

reicht es, nur über eine halbe Periode zu integrieren

([0; π)

bietet sich an) und dafür das Ergebnis zu verdoppeln.

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