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Fourier-Reihe 2pi-periodische funktion

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Fourierreihe, periodisch

flowerpower1234 aktiv_icon

11:43 Uhr, 21.07.2016

Hallo ich habe Probleme bei der Berechnung einer Fourier-Reihe von einer

2 π

periodischen Funktion.

Aufgabe: Berechnen Sie die Fourier-Reihe von der

2 π

periodischen Funtkon

f

gegeben für

x \in [0,2 π)

durch

f (x) = e^{x}

. Bestimmen Sie die Summe dieser Reihe.

Die Formel für die einzelnen Koeffizienten sieht ja folgendermaßen aus:

a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (x) d x

a_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} cos (n x) f (x) d x

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} sin (n x) f (x) d x

Reihe:

f (x) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} cos (n x) + b_{n} sin (n x))

Bei

a_{0}

hab folgendes ausgerechnet:

a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} e^{x} d x = \frac{1}{2 π} {[e^{x}]}_{0}^{2 π} = \frac{1}{2 π} (e^{2 π} - 1)

Bei

a_{n}

und

b_{n}

weiß ich leider nicht wie man die Stammfunktion bildet. Für Ansätze oder Hilfen bin ich dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

12:04 Uhr, 21.07.2016

Die angegebenen Formeln für

a_{0}

und

b_{n}

sind falsch, du hast

\frac{1}{π}

und

\frac{1}{2 π}

vertauscht.
Was zB

\int [sin (n \cdot x) \cdot e^{x}] d x

anlangt, so führt zweimalige partielle Integration au eine Gleichung für dieses Integral, die leicht aufzulösen ist.

Du solltest

\int [sin (n x) \cdot e^{x}] d x = \frac{1}{n^{2} + 1} \cdot e^{x} \cdot (sin (n x) - n \cdot cos (n x))

erhalten.

Alternativ kannst du natürlich auch eine Formelsammlung / Integraltabelle nutzen.

R

flowerpower1234 aktiv_icon

18:43 Uhr, 22.07.2016

Ich hab in meiner Vorlesung nochmal die Formeln nachgeguckt und da ist eig. die Formel für

a_{n}

nur falsch. Da müsste nämlich nur

\frac{1}{π}

hin.

Das Integral hab ich mithilfe der zweimaligen partiellen Integration erfolgreich berechnet und erhalte das gleiche Ergebnis wie du.

Ich habe aber noch eine Frage zu Fourier-Reihen. In meiner Vorlesung wurde (wenn ich es richtig verstanden habe) gesagt, dass bei geraden Funktionen

a_{n} = 0

ist und bei ungeraden

b_{n} = 0

ist. Kannst du das bestätigen oder ist das falsch? Bei der Berechnung der Fourier-Reihen kann man ja so Zeit sparen.

Danke schon einmal für deine Hilfe :-)

Roman-22

19:37 Uhr, 22.07.2016

>

und da ist eig. die Formel für an nur falsch.
Ja, stimmt - mein Fehler, sorry!

>

dass bei geraden Funktionen an=0 ist und bei ungeraden bn=0 ist.
Ja, das ist richtig. Gerade Funktionen enthalten keine Sinus-Anteile und ungerade Funktionen keine Kosinus-Anteile.

>

Bei der Berechnung der Fourier-Reihen kann man ja so Zeit sparen.
Allerdings. In deinem konkreten Fall allerdings nicht, da dein Signal keine derartige Symmetrie aufweist.

R

flowerpower1234 aktiv_icon

22:32 Uhr, 22.07.2016

Ja in diesem Fall gilt das natürlich nicht aber bei anderen Beispielen kann das sicher hilfreich sein. Danke für die Hilfe :-)

Roman-22

22:44 Uhr, 22.07.2016

Ergänzung und KORREKTUR!
Ich hab deinen Beitrag zu flott überflogen und einen Fehler überlesen.

f (x)

gerade

\Rightarrow b_{n} = 0

f (x)

ungerade

\Rightarrow a_{n} = 0

Also genau umgekehrt als in deiner Frage.
Meine Antwort, die auf Sinus- und Kosinusanteile abgestellt war, ist aber richtig.

ZB

f (x)

gerade

\Rightarrow

keine Sinusanteile

\to b_{n} = 0,

denn die

b_{n}

sind ja die Amplituden der Sinus-Anteile in der üblichen und auch von dir eingangs angegebenen Notation.

R

flowerpower1234 aktiv_icon

22:47 Uhr, 22.07.2016

Ok gut, dass es dir aufgefallen ist. Danke für die Korrektur.

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