Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Fourier Reihe

Fourier Reihe

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen

Qilos aktiv_icon

19:45 Uhr, 01.02.2019

Hallo ich lerne gerade für eine Prüfung und wir haben als Thema Fouriertransformationen als Teil der Prüfung. Ich habe damit jedoch noch Probleme

Die Aufgabe lautet:

f (x) = {x,

für

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

{

0,sonst
Also wie bekomme ich da jetzt die Fourier Transformation?
Muss ich nur

a 0,

an und bn bestimmen und dann in die Formel einsetzen und ich bin fertig oder?
Da man ja immer über eine Periode integriert frag ich mich wie das bei diesem Fall ist oder ist meine Periode von

- \frac{π}{2}

bis

\frac{π}{2}

? Falls ja wie ist das dann mit dem Integral, da ja

a 0

in diesem Falle 0 wäre weil ja die negative und positive Fläche gleich groß sind oder müsste ich da was beachten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

19:53 Uhr, 01.02.2019

Mach dir bitte klar, dass Fouriertransformation einer Funktion und Bestimmung der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion zwei unterschiedliche Dinge sind.
Was solls also in deinem Fall sein?
Was du da schreibst erweckt eher Assoziationen zur Fourier-Reihe, allerdings schreibst du immer von F.Trafo und außerdem wird nirgendwo erwähnt, dass dein

f (x)

periodisch ist.

>

Da man ja immer über eine Periode integriert
Naja, bei der Fouriertransformation wird von

- \infty

bis

+ \infty

integriert ;-)
Für die Fourier-Reihe werden üblicherweise in der Tat Integrale über eine Periode eines periodischen Signals verwendet. Allerdings fehlt in deiner Angabe jegliche Information darüber, ob das Signal periodisch sein soll und wenn ja, mit welcher (kleinsten) Periode.
Der Zusatz "0 sonst" lässt allerdings vermuten, dass die Periode (wenns denn eine gibt) nicht

π

sein soll. Steht da vl etwas von einem

2 π -

periodischen Signal?
Schau also nochmals bei der Originalangabe nach und gib deren Text hier vollständig und unverfälscht wider.

>

Falls ja wie ist das dann mit dem Integral, da ja

a 0

in diesem Falle 0 wäre weil ja die negative und positive Fläche gleich groß sind oder müsste ich da was beachten?
Sind wir also doch bei der F.-Reihe. Dein Signal ist ungerade (Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs), daher sind der Gleichanteil

(a_{0}

bzw.

\frac{a_{0}}{2},

je nach Formel) und auch alle Kosinusanteile

(\in

deiner Sprechweise vermtlich "die a_n") gleich Null.

Qilos aktiv_icon

20:00 Uhr, 01.02.2019

ja beim der Reihe wird von -unendlich bis unendlich integriert aber bei der bestimmung der Koeffizienten laut meinen Formeln nicht

Qilos aktiv_icon

20:04 Uhr, 01.02.2019

Also die Aufgabe hies:
) Gegeben ist die Funktion

f : R

→

R

durch

f (x) =

{x, - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

{0,

sonst.
Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von

f

.

Du hast mir schon mal gut weitergeholfen, also ist das was ich mache eine Fourier Reihen Bildung weil es kein Periodisches Signal ist? Und bei periodischen Signalen ist es dann eine Fourier Transformation?

Roman-22

20:24 Uhr, 01.02.2019

>

Du hast mir schon mal gut weitergeholfen, also ist das was ich mache eine Fourier Reihen Bildung weil es kein Periodisches Signal ist? Und bei periodischen Signalen ist es dann eine Fourier Transformation?

Nein, genau umgekehrt!
Ein periodisches Signal kann man in eine (unendliche) Reihe von Sinus- und Kosinus-Schwingungen zerlegen (diskrete Fourierreihe). Zu diesem Vorgang passen die

a_{0}, a_{n}

und

b_{n},

welche du erwähnt hast.
Diese Fourierreihe lässt sich auch in komplexer Schreibweise angeben und von da weg ist es nicht mehr weit bis zur kontinuierlichen Fourier-Transformation eines beliebigen zeitabhängigen Signals.
Siehe zB www.uni-muenster.de/imperia/md/content/physikalische_chemie/praktikum/fourier__transformation__kr_mer__elisabeth__schmitz__rene_.pdf
Und die Transformation dieses nichtperiodischen Signals scheint bei deiner Aufgabe gefragt zu sein und da solltest du mal deine Unterlagen diesbezüglich durcharbeiten.
Grundsätzlich berechnet man die Fouriertransformierte eines Signals

f (t)

durch

F (ω) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) \cdot e^{- j \cdot ω \cdot t} d t

wobei

j

die imaginäre Einheit ist.
Manchmal wird auch noch mit dem Skalierungsfaktor

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

multipliziert.

Du kannst dein Ergebnis ja mit Onkel Wolfram ( www.wolframalpha.com ) abgleichen und dort

"Fourier transform of((theta (t+pi/2)-theta(t-pi/2))*t)"

ohne die Anführungsstriche eingeben. Die Beschränkung auf

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

ist hier mithilfe der Heaviside-Funktion realisiert.

Qilos aktiv_icon

14:27 Uhr, 02.02.2019

Also mit dieser Formel komme ich auf das Ergebnis?
Muss ich denn da auch von -unendlich bis unendlich integrieren oder von

- \frac{π}{2}

bis

\frac{π}{2}

Qilos aktiv_icon

14:42 Uhr, 02.02.2019

Zu dem Link von dem Skript hätte ich auch noch eine Frage:
Auf Seite

14

wird die Funktion

f (t)

in die Formel zur Bestimmung von Ak eingesetzt. aber ich verstehe nicht wie man das einfach einsetzen kann. Es sind ja quasi 2 FUnktionen für je einen bestimmten Abstand oder?
Sorry falls ich zu dumme Fragen stelle

: (

Roman-22

15:33 Uhr, 02.02.2019

Ich wundere mich eigentlich nur, warum du nicht in deinen eigenen Unterlagen nachsiehst und diese studierst.
Dort sollte doch alles so stehen, wie es von euch verlangt wird, mit welcher Normierung, etc.

Der Link den ich da schnell ausgegraben habe sollte nur den Bogen von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation spannen und scheint die Foliensammlung eines Schülers oder Studentenvortrags zu sein.
Seite

14

ist ja noch OK, da wird einfach formal

f (t)

eingesetzt. Problematisch wirds dann auf Seite

15

. Denn da

f (t)

eine stückweise definierte Funktion ist, wird man auch das Intregral in zwei Teilintegrale (von

- \frac{T}{2}

bis 0 und von 0 bis

\frac{T}{2})

aufspalten.
Einfacher gehts bei solchen symmetrischen Funktionen, indem man nur eine halbe Periode integriert und das Ergebnis dafür verdoppelt.
Hier also

A_{k} = 2 \cdot \frac{2}{T} \cdot \int_{0}^{\frac{T}{2}} (1 - \frac{2 t}{T}) \cdot cos (k \cdot \frac{2 π}{T} \cdot t) d t = ... = 2 \cdot \frac{1 - cos (k π)}{k^{2} π^{2}} = 2 \cdot \frac{1 - {(- 1)}^{k}}{k^{2} π^{2}}

>

Muss ich denn da auch von -unendlich bis unendlich integrieren
Formal ja, aber was meinst du, was bei deiner Funktion fürs Integral von

- \infty

bis

- \frac{π}{2}

rauskommt?

Qilos aktiv_icon

15:53 Uhr, 02.02.2019

Ok danke
Da es ja alles außer

- \frac{π}{2}

bis

\frac{π}{2}

gleich 0 ist nehme ich an das es von daher auch gleich null ist. Da hätte ich auch selber drauf kommen können.
Jedenfalls danke für deine Hilfe

\land

Roman-22

19:50 Uhr, 02.02.2019

>

nehme ich an das es von daher auch gleich null ist.
Genau!
Und wie du normieren sollst müsstest du deinen Unterlagen entnehmen.

Qilos aktiv_icon

23:08 Uhr, 02.02.2019

Entschuldige nochmal. Was meinst du mit normieren? Ich habe dazu in meinen Unterlagen nichts gefunden

: (

Roman-22

00:06 Uhr, 03.02.2019

Du kannst die verschiedenen Möglichkeiten zur Normierung auch bei Onkel Wolfram sehen und einstellen (siehe Bild).
I. W. ist damit gemeint ob du noch mit

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

oder vl auch mit

\frac{1}{2 π}

multiplizierst. Macht je nach Verwendungszweck Sinn.
Mach es also einfach so wie die Formel in deinen Unterlagen steht.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1457934

1457793

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?