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Fourier Reihe Komplex in reell umwandeln

Schüler

Funktionenreihen

Tags: Fourierreihe, Komplexe Zahlen

hello444 aktiv_icon

07:18 Uhr, 11.04.2024

Ich möchte eine Fourier Reihe von einer abschnittsweisen definierten Funktion in komplexer Form entwickeln und anschließend reell umwandeln

f : (- π; π] \to ℝ, f (x) = x, - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

0, - π \leq x < - \frac{π}{2} ⋃ \frac{π}{2} < x \leq π

Komplexe Fourierkoeffizienten berechnen

c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) e^{- i n x} d x

c_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x e^{0} d x = 0

c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x e^{- i n x} d x = \frac{1}{2 π n^{2}} (i n \frac{π}{2} e^{i n \frac{π}{2}} + i n \frac{π}{2} e^{- i n \frac{π}{2}} + e^{- i n \frac{π}{2}} - e^{i n \frac{π}{2}})

= \frac{1}{2 π n^{2}} (i n \frac{π}{2} (e^{i n \frac{π}{2}} + e^{- i n \frac{π}{2}}) - (e^{i n \frac{π}{2}} - e^{- i n \frac{π}{2}})

= \frac{1}{2 π n^{2}} (2 i n π c o s (n \frac{π}{2}) - 2 i s i n (n \frac{π}{2}))

= \frac{i c o s (n \frac{π}{2})}{n} - \frac{i s i n (n \frac{π}{2})}{π n^{2}}

Fallunterscheidung durchführen für gerade und ungerade

n

c o s (n \frac{π}{2}) = (- 1)^{n} n, 2 n

s i n (n \frac{π}{2}) = (- 1)^{n + 1} n, 2 n - 1

= \frac{i (- 1)^{n}}{2 n} - \frac{i (- 1)^{n + 1}}{π n^{2}}

= (\frac{(- 1)^{n}}{2 n} + \frac{(- 1)^{n + 2}}{π (2 n - 1)^{2}}) i = (\frac{(- 1)^{n}}{2 n} + \frac{(- 1)^{n + 2}}{π (2 n - 1)^{2}}) e^{i \frac{π}{2}}

= f (x) = \sum_{- \infty}^{\infty} (\frac{(- 1)^{n}}{2 n} + \frac{(- 1)^{n + 2}}{π (2 n - 1)^{2}}) e^{i \frac{π}{2} x} e^{- i \frac{π}{2} x}

= \sum_{n = 1}^{\infty} 2 (\frac{(- 1)^{n}}{2 n} + \frac{(- 1)^{n + 2}}{π (2 n - 1)^{2}}) c o s (n x + \frac{π}{2})

Das reelle Ergebnis ist falsch.

Kann mir jemand sagen wo der Fehler ist? Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KartoffelKäfer aktiv_icon

12:32 Uhr, 11.04.2024

Die Koeffizienten sind

c_{0} = 0

und

c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x e^{- i n x} d x = i (\frac{cos (\frac{π n}{2})}{2 n} - \frac{sin (\frac{π n}{2})}{π n^{2}})

für alle

n \in Z \ {0}

.

Die Fourier-Reihe ist also

\sum_{n \in Z} c_{n} e^{i n x}

= \sum_{n \leq - 1} i (\frac{cos (\frac{π n}{2})}{2 n} - \frac{sin (\frac{π n}{2})}{π n^{2}}) e^{i n x} + \sum_{n \geq 1} i (\frac{cos (\frac{π n}{2})}{2 n} - \frac{sin (\frac{π n}{2})}{π n^{2}}) e^{i n x}

= \sum_{n \geq 1} i (- \frac{cos (\frac{π n}{2})}{2 n} + \frac{sin (\frac{π n}{2})}{π n^{2}}) e^{- i n x} + \sum_{n \geq 1} i (\frac{cos (\frac{π n}{2})}{2 n} - \frac{sin (\frac{π n}{2})}{π n^{2}}) e^{i n x}

= \sum_{n \geq 1} \frac{2 sin (\frac{π n}{2})}{π n^{2}} sin (n x) + \sum_{n \geq 1} i (- \frac{cos (\frac{π n}{2})}{2 n}) e^{- i n x} + \sum_{n \geq 1} i (\frac{cos (\frac{π n}{2})}{2 n}) e^{i n x}

= \sum_{n \geq 1} \frac{2 sin (\frac{π n}{2})}{π n^{2}} sin (n x) - \sum_{n \geq 1} \frac{cos (\frac{π n}{2})}{n} sin (n x)

= \sum_{n \geq 1} \frac{2 {(- 1)}^{n + 1}}{π {(2 n - 1)}^{2}} sin ((2 n - 1) x) - \sum_{n \geq 1} \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n} sin (2 n x)

.

Genutzt wurde hier, dass

cos (x) = cos (- x), sin (x) = - sin (- x)

und

e^{i x} = cos (x) + i sin (x)

für alle

x \in R

.

Man kann übrigens auch direkt reelle Koeffizienten entwickeln

bzw. diese mit geschultem Blick in der obigen Reihe finden.

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x cos (n x) d x = 0

für alle

n \in N_{0},

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x sin (n x) d x = \frac{2 sin (π n) - π n cos (π n)}{π n^{2}}

für alle

n \in N

.

Siehe dazu auch den Anhang.

hello444 aktiv_icon

21:13 Uhr, 14.04.2024

Ich habe meinen Fehler gefunden. Ich habe in einem Rechenschritt eine

2

zu viel. Ich schreibe meinen vollständigen Rechenweg hier noch mal hin. Das Ergebnis ist ähnlich mit dem obigen Beitrag aber mit phasenverschobenen Kosinustermen.

f : (- π; π] \to ℝ, f (x) = x, - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

0 - π \leq x < - \frac{π}{2} ⋃ \frac{π}{2} < x \leq π

Komplexe Fourierkoeffizienten berechnen

c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) e^{- i n x} d x

c_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x e^{0} d x = 0

c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x e^{- i n x} d x = \frac{1}{2 π n^{2}} (i n \frac{π}{2} e^{i n \frac{π}{2}} + i n \frac{π}{2} e^{- i n \frac{π}{2}} + e^{- i n \frac{π}{2}} - e^{i n \frac{π}{2}})

= \frac{1}{2 π n^{2}} (i n \frac{π}{2} (e^{i n \frac{π}{2}} + e^{- i n \frac{π}{2}}) - (e^{i n \frac{π}{2}} - e^{- i n \frac{π}{2}})

= \frac{1}{2 π n^{2}} (i n π c o s (n \frac{π}{2}) - 2 i s i n (n \frac{π}{2}))

c o s (n \frac{π}{2}) = (- 1)^{n} n, 2 n

s i n (n \frac{π}{2}) = (- 1)^{n + 1} n, 2 n - 1

= \frac{n (- 1)^{n}}{2 n^{2}} i - \frac{(- 1)^{n + 1}}{π n^{2}} i

= \frac{2 n (- 1)^{n}}{2 (2 n)^{2}} i + \frac{(- 1)^{n + 2}}{π (2 n - 1)^{2}} i

= \frac{2 n (- 1)^{n}}{2 (4 n^{2})} i + \frac{(- 1)^{n}}{π (2 n - 1)^{2}} i

= \frac{(- 1)^{n}}{4 n} i + \frac{(- 1)^{n}}{π (2 n - 1)^{2}} i

\sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{4 n} e^{i \frac{π}{2}} e^{- i \frac{π}{2}} + \frac{(- 1)^{n}}{π (2 n - 1)^{2}} e^{i \frac{π}{2}} e^{- i \frac{π}{2}}

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2 n} c o s ((2 n) x + \frac{π}{2}) + \frac{2 (- 1)^{n}}{π (2 n - 1)^{2}} c o s ((2 n - 1) x + \frac{π}{2})

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00:22 Uhr, 15.04.2024

Du machst nen ganzen Haufen Fehler, in beiden Beiträgen.

Um ehrlich zu sein, ist Deine gesamte Rechnung eine einzige Katastrophe.

Das Ergebnis stimmt nun, gut, bis auf ein Paar fehlende Klammern

(siehe Anhang, wegen

z . B

\sum_{k = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} + 1 = 1 + \sum_{k = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = 3 \neq \infty = \sum_{k = 0}^{\infty} ({(\frac{1}{2})}^{n} + 1) = \sum_{k = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} + \sum_{k = 0}^{\infty} 1),

aber der Rest ist ziemlich wirsch.

So ist

z . B

cos (\frac{n π}{2})

nicht gleich

{(- 1)}^{n},

sondern

cos (n \frac{π}{2}) = 1,

falls

n mod 4 = 0,

cos (n \frac{π}{2}) = 0,

falls

n mod 4 = 1,

cos (n \frac{π}{2}) = - 1,

falls

n mod 4 = 2,

cos (n \frac{π}{2}) = 0,

falls

n mod 4 = 3,

und daher gilt

\sum_{n = 1}^{2 K} \frac{cos (\frac{π n}{2})}{n} sin (n x) = \sum_{n = 1}^{K} \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n} sin (2 n x)

für alle

K \in N

.

Und

\sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{n}

oder ähnliches darf man auch nicht schreiben,

denn

\frac{1}{n}

ist für

n = 0

nicht definiert.

Und überhaupt schreibt man in der Mathematik

Terme nicht einfach lose untereinander.

So, nun will ich von Dir ablassen...

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