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Fourier-Transformierte der Dirac-Delta-Funktion

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Tags: Dirac, Fenster, fourier

 
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felix-feil

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16:13 Uhr, 04.02.2025

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Ich versuche zu verstehen, warum die Fourier-Transformierte der Dirac-Delta-Funktion δ(t) eine konstante Funktion mit Wert 1 ist.

Natürlich kann man das direkt berechnen, aber mich interessiert eine anschauliche Herleitung.

Ist es korrekt zu sagen, dass eine immer schmaler werdende Rechteckfunktion im Zeitbereich eine immer breitere Sinc-Funktion im Frequenzbereich ergibt? Falls ja, bedeutet das dann, dass wenn das Rechteck unendlich schmal wird (also zur Dirac-Delta-Funktion), die zugehörige Sinc-Funktion unendlich breit wird und damit zu einer konstanten Funktion über alle Frequenzen wird?

Ist diese Vorstellung richtig, oder gibt es da einen Denkfehler?

Danke im Voraus für eure Antworten!

Screenshot 2025-02-04 161505

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felix-feil

felix-feil aktiv_icon

18:33 Uhr, 05.02.2025

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Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass es richtig ist.
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mathadvisor

mathadvisor aktiv_icon

20:02 Uhr, 05.02.2025

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Der Begriff "korrekt" ist hier schwierig, denn math. ist das ja nicht korrekt (weil nicht präzise). Du suchst ja nach einer anschaulichen Idee dahinter.
Hier noch eine Variante, die (vlt) klarer ist:
Es gilt ja 1πxsinπxaδ(x) für a0 (siehe wikipedia-Seite zu sinc). Die FT der linken Seite ist rectu(ω) mit u=πa, also eine Rechtecksignal mit Höhe 1, das für a0, also u, gegen die konstante Funktion 1 konvergiert.