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Fourieranalyse -(2*x/pi)+2

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: fourier, Funktion

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18:27 Uhr, 15.01.2011

Hallo zusammen,
ich versuche gerade eine Fourieranalyse für folgende Funktion hinzubekommen:

f (x) = - \frac{2}{π} \cdot x + 2

für

0 < x < π

f (x) = \frac{2}{π} \cdot x + 2

für

- π < x < 0

Da es sich um eine gerade Funktion handelt, nutze ich folgenden Ansatz:

a_{n} = \frac{4}{p} \cdot \int \cdot f (x) \cdot cos (2 \cdot \frac{π}{p} \cdot n \cdot x) d x

Integral von

0 \to \frac{p}{2}

Jetzt alles einsetzen:

a_{n} = \frac{2}{π} \cdot \int (- \frac{2}{π} \cdot x + 2) \cdot cos (n \cdot x) d x

a_{n} = \frac{2}{π} \cdot - \int (\frac{2}{π} \cdot x - 2) \cdot cos (n \cdot x) d x

Jetzt partielle Integration (mit

cos (n \cdot x)

als

u' (x))

a_{n} = \frac{2}{π} \cdot - {[(\frac{2}{π} \cdot x - 2) \cdot \frac{sin (n \cdot x)}{n}] - \int \cdot \frac{sin (n \cdot x)}{n} \cdot \frac{2}{π} d x}

a_{n} = \frac{2}{π} \cdot - {[(\frac{2}{π} \cdot x - 2) \cdot \frac{sin (n \cdot x)}{n}] - \frac{2}{π} [- \frac{cos (n \cdot x)}{n^{2}}]}

Für die eckigen Klammern die Integrationsgrenzen einsetzen

a_{n} = \frac{2}{π} \cdot - {[(\frac{2}{π} \cdot π - 2) \cdot \frac{sin (n \cdot π)}{n} - (\frac{2}{π} \cdot 0 - 2) \cdot \frac{sin (n \cdot 0)}{n}] - \frac{2}{π} [- \frac{cos (n \cdot π)}{n^{2}} - - \frac{cos (n \cdot 0)}{n^{2}}]}

a_{n} = \frac{2}{π} \cdot - {[0] - \frac{2}{π} [\frac{1}{n^{2}} - \frac{{(- 1)}^{2}}{n^{2}}]}

a_{n} = \frac{2}{π} \cdot - (- \frac{2 - 2 \cdot {(- 1)}^{2}}{π \cdot n^{2}})

a_{n} = \frac{4 - 4 {(- 1)}^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

Könnte das so richtig sein für

a_{n}

a_{0}

ist erstmal nicht so wichtig.

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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