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Fourierkoeffizienten gerade und ungerade Funktion

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Fourierkoeffizient, Fourierreihe

FarrahFowler aktiv_icon

10:37 Uhr, 20.11.2014

Hallo,

wir sollen beweisen, dass für eine

2 π

-periodische Funktion

f : ℝ \Rightarrow ℝ,

die Fourierreihe diese Darstellung haben:

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{k} cos (n x),

falls

f

gerade und

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{k} sin (n x),

falls

f

ungerade.

Meine Idee war nun, einmal das Intervall

- π

bis 0 zu betrachten und einmal 0 bis

π

.

für

[- π,0]

hätte ich ja negative Werte, und da

cos

eine gerade Funktion, gilt

cos (- n x) = cos (n x),

dh dabei könnte ich das tauschen, aber für den sinus gilt das ja nicht. Also müsste theoretisch

b_{k} = 0

sein. Ich weiß nicht so genau, ob ich gerade völligen Müll im Kopf hab, oder ob man so in der Art auf eine Lösung kommt. Weiß leider auch nicht, wie ich es formal richtig aufschreiben kann

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

10:48 Uhr, 20.11.2014

Verwende Formeln für Fourierkoeffizienten und die Tatsache, dass

\int_{- π}^{π} g (x) d x = 0

für eine ungerade Funktion.

(Wenn

f

gerade ist, dann ist

f (x) \sin (n x)

ungerade, und wenn

f

ungerade ist, ist

f (x) \cos (n x)

ungerade).

FarrahFowler aktiv_icon

11:01 Uhr, 20.11.2014

Ich kann mich nicht daran erinnern, dass wir irgendwann mal gesagt haben, dass

\int_{- π}^{π} g (x) d x = 0,

für eine ungerade Funktion gilt. Also ich bin mir nicht sicher, ob ich das einfach so verwenden darf..

DrBoogie aktiv_icon

11:06 Uhr, 20.11.2014

Muss man denn Dir das sagen? Der Beweis ist trivial:

\int_{- π}^{π} g (x) d x = \int_{0}^{π} g (x) d x + \int_{- π}^{0} g (x) d x =

(nach Substitution

x = - y

im zweiten Integral))

= \int_{0}^{π} g (x) d x - \int_{π}^{0} g (- y) d y = \int_{0}^{π} g (x) d x + \int_{0}^{π} g (- y) d y

= (wegen

g

- ungerade)=

= \int_{0}^{π} g (x) d x - \int_{0}^{π} g (y) d y = 0

, denn das sind gleiche Integrale. Alles.

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