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Fourierreihe

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Loobia aktiv_icon

13:12 Uhr, 22.09.2009

habe noch eine aufgabe zum rehnen ohne Taschenrechne. habe auch ein lösungsweg, verstehe es aber nicht.

Die aufgabe lautet:

f (x) = x^{2}

für

x

[- π, π]

Achtung!
symetrie beachten
man kann auch statt

\int_{- x}^{x}

auch

\int_{0}^{2 \cdot π}

nehmen.

Lösung!

f (x) = \frac{1}{3} \cdot π^{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4}{n^{2}} {(- 1)}^{n} \cdot cos (n \cdot x)

bitte brauche dringend hilfe...

JensW aktiv_icon

19:10 Uhr, 24.09.2009

Es scheint dir ja wirklich wichtig zu sein...

Die Koeffizienten der Fourierreihe

f (x) = a_{0} \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} c o s (k x) + \sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} s i n (k x)

Sind

a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) d x

a_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) c o s (k x) d x

b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) s i n (k x) d x

Diese Formeln kann man in jeder Formelsammlung nachlesen(Bronstein ist zB bestens geeignet)
Zum loesen der Aufgabe reicht das voellig
So du es willst kann ich dir gerne zeigen warum diese Formeln gelten das wuerde aber etwas laenger dauern

a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) d x

a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} x^{2} d x

a_{0} = \frac{1}{2 π} [\frac{1}{3} x^{3}]_{- π}^{π} d x

a_{0} = \frac{1}{3} π^{2}

a_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) c o s (k x) d x

a_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} c o s (k x) d x

Partielle Integration

u = x^{2}

v ` = c o s (k x)

u ` = 2 x

v = 1 / k s i n (k x)

a_{k} = \frac{1}{π} ([x^{2} 1 / k s i n (k x)]_{- π}^{p i} - \int_{- π}^{π} 2 / k x s i n (k x) d x)

\sin k π = 0 = \sin k \ - p i

der Term in der EckigenKlammer ist Null

a_{k} = \frac{1}{π} - \int_{- π}^{π} 2 / k x s i n (k x) d x

Partielle Integration

u = 2 / k x

v ` = s i n (k x)

u ` = 2 / k

v = 1 / k - c o s (k x)

a_{k} = + \frac{1}{π} ([\frac{2}{k^{2}} x c o s (k x)]_{- π}^{p i} - \int_{- π}^{π} \frac{2}{k^{2}} c o s (k x) d x)

Das Integral der cos Funktion ueebr einvielfaches der Periode ist Null

a_{k} = + \frac{1}{π} \frac{2}{k^{2}} [x c o s (k x)]_{- π}^{p i}

Einsetzen

a_{k} = \frac{4}{k^{2}} c o s (k π)

a_{k} = \frac{4}{k^{2}} (- 1)^{k}

b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) s i n (k x) d x

b_{k} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} s i n (k x) d x

Gerades Imtergral uebr Ungerade Funktion ist Null wegen Symmetrie

b_{k} = 0

Loobia aktiv_icon

08:19 Uhr, 25.09.2009

danke für deine hilfe, die aufgabe hatte sich schon erledigt.

habe es mit Timmy berechnet.
Danke trotzdem!

Loobia aktiv_icon

13:40 Uhr, 25.09.2009

Jetzt habe ich eine dumme frage....

a_{k} = \frac{4}{k^{2}} {(- 1)}^{k}

woher kommt das

{()}^{k}

kann man sagen, wenn

sin (k \cdot \frac{π}{2}) = 1^{k}

wäre das richti?

JensW aktiv_icon

10:54 Uhr, 28.09.2009

"wäre das richti?"

nein

s i n (k π + \frac{π}{2}) = (- 1)^{k}

die sin und die cos Funktion sind Periodisch in

2 π

wenn man zu einem x immer k

2 π

kommt immer das geiche raus

wenn man

k π

adiert springt das zischen zwei werten hin und her..

wenn man

k π / 2

adiert springt das zwischen 4 Werten hin und her usw usw

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