Fourierreihe, Sägezahnfunktion entwickeln

Aufgabenstellung : Fourierreihe einer Sägezahnfunktion entwickeln

Periodenlänge: ${\displaystyle 2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Gegebene Punkte: A(0/1), B(${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$/0) und C(${\displaystyle 2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$/-1)

Mein Lösungsweg:

a0=0 Flächenteile (positiv und negativ) über die volle Periode sind

gleich groß

keine Verschiebung an der y-Achse

an=0 punktsymmetrisch, ungerade

bn=${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }_0^{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

1.Schritt Aufstellen der Funktionsgleichung f(x)

A(0/1) eingesetzt in y=kx+d

führt zu 1=k*0+d

d=1

B(${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$/0) eingesetzt 0=${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$*k+1

-1=${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$*k

${\displaystyle \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{-1}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

C=-1=${\displaystyle \frac{-1}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}$

$$\begin{gathered} {\displaystyle 0<\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{-1}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1 \\ \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}<\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{-1}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1} \end{gathered}$$

2.Schritt Bestimmung von bn

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{2}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }_0^{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{2}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }_0^{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(-\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+1\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{2}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\frac{-1}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }_0^{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{-2}{\mathrm{\pi ²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }_0^{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{-2}{\mathrm{\pi ²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}[\frac{\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\frac{-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}]\begin{array}{c}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\end{array}} \end{gathered}$$

Stimmt das soweit?

Falls ja, kann mir jemand helfen die Aufgabe weiter aufzulösen.

Danke