Fourierreihe Wert von anderer Reihe berechnen!

Hallo Leute!

Habe ein Problem mit einer Fourierentwicklung!

Aufgabenstellung:

Entwickeln sie die 2pi-periodische Fortsetzung der Funktion f(x)=cos(x/3), x?(-pi,pi) in eine Fourierreihe

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

und bestimmen Sie durch Auswertung an einer geeigneten Stelle

${\displaystyle \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{9{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1}}$

So ersteres hab ich gemacht (c, ak, bk) habe ich berechnet und die stimmen auch!

Habe nun die Fourierreihe wie folgt auf gestellt!

Es gilt:

${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={(-1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}{(-1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{9\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+\frac{3\sqrt{3}}{2}{(-1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\frac{9\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{1-9{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2})\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Es geht jetzt um die Auswertung an geeigneter Stelle von der andere Reihe mit Hilfe oben beschriebenen Fourierreihe!

Ich habe mir folgendes gedacht:

Ich forme die Fourierreihe erst einmal um und habe folgende Annahmen getroffen:

cos(n*pi)=(-1)^n (das ist sicher, steht als Hinweis bei der Aufgabe)

sin(n*pi)=0 (da bin ich mir nicht sicher)

Hier nun meine Vereinfachung:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}{(-1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{3\sqrt{3}}{2}{(-1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{1-9{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}){(-1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\frac{{(-1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}3\sqrt{3}}{1-9{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}){(-1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Um nun annähernd auf die Form oben genannter Reihe zu kommen muss ich Nenner und Zähler mit (-1) multiplizieren und zusammengefasst sieht es dann so aus:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{(-1)}^{2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}3\sqrt{3}}{9{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1}}$

durch das 2n+1 wird die 1 ja niemals positiv oder? Habe dann weiter vereinfacht und komme dann auf folgendes:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+(-3\sqrt{3})\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{9{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1}}$

Nun weiter im Text:

Habe mir dann gedacht das ich f(x)=cos(x/3) hernehme und für x=2pi einsetze und dann nach der Reihe auflöse!

${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{9{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1}=\frac{1}{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\frac{\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{3}\right)}{3\sqrt{3}}}$

Habe es wie gesagt mit x=2pi versucht aber es kommt immer das falsche Ergebnis raus!

Habe es dann auch weiterhin mit +-pi probiert (is bei der Kosinusfunktion ja egal weil es sich um eine gerade funktion handelt: cos(-x)=cos(x) )

Ich verzweifel langsam an der Aufgabe! Kann mir jemand erklären, ob mein Weg so richtig ist? Wo liegt mein Denkfehler? Wäre für Hilfe dankbar!

Gruß Andi

Bin leider immer noch nicht viel weiter gekommen!

Habe folgendes im Repetitorium der Höheren Mathematik gefunden:

"Ist f periodisch mit der periode p und stückweise glatt in [-p/2;p/2], so konvergiert ihre Fourierreihe F und zwar gegen:

f(x0) wenn f in xo stetig ist

1/2(lim+0 f(x) +lim-0 f(x)) wenn sie unstetig ist"

Bei mir ist f(x) = cos(x/3) , die Cosinusfunktion ist ja stetig!

d.h. für x0= 0 konvergiert meine Funktion gegen 1! richtig?

Weiterhin schreiben sie, das F(x0)=f(x0) ist (ist ja oben schon im Text so ausgedrückt worden)

Meine ehemalige Fourierreihe habe ich nun so weit umgeformt, das sie so aussieht wie die zu berechnende Reihe!

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-3\sqrt{3}\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{9{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+1}}$

Nach dem Text zu urteilen, hätte ich mir das alles sparen können, da der Cosinus ja bei x0 gegen 1 geht! Das heisst mein Wert für diese Reihe würde ja auch gegen 1 gehen! Hab diese Lösung schon überprüft - stimmt aber leider nicht!

Meine Fourierreihe ist soweit richtig, da ich ak und bk und a0 schon in der Antwortmaske eingetragen habe und diese mir gesagt hat, das diese richtig sind!

Bei mir liegt das Problem wahrscheinlich echt "nur" an dem Grenzwert!

Kennt sich damit jemand besser aus?? Bräuchte echt mal einen Tip!;)