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Fourierreihe berechnen

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Fourierreihe

Mila123 aktiv_icon

17:56 Uhr, 25.08.2022

Hi,

ich habe eine brauche zum Verständnis der Fourierreihe ein wenig Hilfe.
Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie die Fourier-Reihen zu den 2π-periodischen Fortsetzungen von.

f (t) = ∣ t ∣, t \in (- π, π]

g(t)={

1

für

- π < t < = 0

und

- 1

für

0 < t < = π

Wieso steht bei der Musterlösung dieser Aufgabe:

a_{0} = \frac{2}{T} \int_{0}^{π} t d x

und bei

a_{n}

a_{n} = \frac{4}{T} \int_{0}^{π} t \cdot c o s (n \cdot t) d x

T ist ja die 2π-periodischen Fortsetzungen, aber irgendwie verstehe ich nicht wieso man 2/T und 4/t am Anfang wählt bzw. schreibt? Die Formel für die Frequenz lautet ja:

f = \frac{1}{T}

Aber warum 2/T und 4/T?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ledum aktiv_icon

19:14 Uhr, 25.08.2022

Hallo
eigentlich muss man von

- π

bis

+ π

integrieren aber da die Funktion punktsymmetrisch zu 0 ist und sin(wt) auch verdoppelt man das Integral von 0 bis

π,

dadurch die 4 bzw 2
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

19:14 Uhr, 25.08.2022

Hallo
eigentlich muss man von

- π

bis

+ π

integrieren aber da die Funktion punktsymmetrisch zu 0 ist und sin(wt) auch verdoppelt man das Integral von 0 bis

π,

dadurch die 4 bzw 2
Gruß ledum

Mila123 aktiv_icon

19:46 Uhr, 25.08.2022

Okey, dankeschön. Ich versteh das irgendwie immer noch nicht. Warum schreibt man dann bei a0

\frac{2}{T}

und bei a_n

\frac{4}{T}

? Müsste man den nicht bei beiden

\frac{2}{T}

schreiben? Und wie prüft man, ob man das verdoppel muss oder nicht?

Roman-22

21:29 Uhr, 25.08.2022

Du kannst ja gerne aus Konsistenzgründen auch bei

a_{0}

mit

\frac{4}{T}

rechnen, aber dann ist

a_{0}

eben nicht mehr der Gleichanteil und deine Fourier-Reihe müsstest du dann mit

f (t) = \frac{a_{0}}{2} + . .

. beginnen und nicht mit

f (t) = a_{0} + . .

.
In verschiedenen Formelsammlungen findet man beide Ansätze und es ist ja letztlich egal, ob man bereits bei der Berechnung mit dem Integral halbiert oder erst dann, wenn man die Reihe explizit anschreibt ;-)

Mila123 aktiv_icon

22:13 Uhr, 25.08.2022

Kannich nur zustimmen!!! Könnte man den auch bei a_n mit 2/T rechnen? Die Aufgabenstellung geht doch von 2pi-periodischen Fortsetzungen aus. Oder habe ich da einen Denkfehler...?

Roman-22

22:42 Uhr, 25.08.2022

>

Könnte man den auch bei

a_{n}

mit

\frac{2}{T}

rechnen?
Und dann beim Anschreiben der Reihe das Ergebnis erst verdoppeln? Ja. Du könntest auch mit

\frac{1}{T}

rechnen und dann erst später das Ergebnis vervierfachen ;-)

Oder meinst du die Anwendung der allgemeinen Formel

a_{n} = \frac{2}{T} \cdot \int_{- π}^{π} [f (t) \cdot cos (n \cdot t)] d t

?
kannst du auch machen, allerdings müsstest du an der Stelle 0 das Integral aufteilen, da

| t | = - t

für negative

t

.

also

a_{n} = \frac{2}{T} \cdot \int_{- π}^{π} [| t | \cdot cos (n \cdot t)] d t = \frac{2}{T} \cdot \int_{- π}^{0} [(- t) \cdot cos (n \cdot t)] d t + \frac{2}{T} \cdot \int_{0}^{π} [t \cdot cos (n \cdot t)] d t = . .

.

Du wirst feststellen, dass beide Teil-Integrale jeweils den gleichen Wert ergeben, weswegen es eben reicht, nur das zweite auszuwerten und zu verdoppeln

\to

daher eben das

\frac{4}{T}

.
Dieses Vereinfachung ist möglich, weil es sich bei

f (t)

hier um eine gerade Funktion handelt, also eine Funktion, für die

f (- t) = f (t)

gilt. Geometrisch bedeutet das, dass der Graph der Funktion symmetrisch zur Ordinatenachse ist.
Weil es sich um eine gerade Funktion handelt, weiß man auch (ohne Rechnung), dass es keine Sinusanteile geben kann, dass also alle

b_{n} = 0

.

Eine analoge Vereinfachung gilt auch für ungerade Funktionen

(f (- t) = - f (t);

Symmetrie bzgl des Ursprungs) so wie die Funktion

g (t)

aus deiner Angabe. Da gibts dann eben keine Kosinus-Anteile

(a_{n} = 0)

und für die

b_{k}

reicht die Integration über eine halbe Periode mit Verdopplung des Ergebnisses.

Mila123 aktiv_icon

23:46 Uhr, 25.08.2022

Dankeschön. Das ist genau das was mir noch gefehlt hat um die Aufgabe zu verstehen.

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