Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Fourierreihe bestimmen für f(x)=x

Fourierreihe bestimmen für f(x)=x

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Fourier-Reihenentwicklung, Fourieranalyse, Fourierreihe

chrischo aktiv_icon

15:48 Uhr, 04.01.2019

Hallo Leute,

ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich bereite mich gerade auf meine Mathe 3 Klausur vor und eine Aufgabe in unserer Übung ist:

Bestimmen Sie die Fourier-Reihe für die folgenden Funktionen.

a) f : (- π, π) \to R, f (x) = x

Ich habe die Periodendauer

(T = 2 π

)und Kreisfrequenz

(ω = 1)

bereits ausgerechnet, sowie bestimmt, dass die Funktion ungerade ist.

ak=0

Ich tue mich jetzt schwer bei der Berechnung von Bk.

Bis jetzt bin ich soweit:

Bk=

\frac{2}{T} \cdot

Integral von

{π, - π}, f (x) \cdot sin (k \cdot ω \cdot x) d x

Bk=

\frac{2}{T} \cdot

Integral von

{π, - π}, x \cdot sin (k \cdot 1 \cdot x) d x

Bk=

\frac{1}{π} \cdot [\frac{π}{k} \cdot cos (k \cdot π) + \frac{π}{k} \cdot cos (k \cdot - π)]

Ist der Weg bis jetzt richtig?

Wie mache ich jetzt weiter?

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

17:41 Uhr, 04.01.2019

>

Ist der Weg bis jetzt richtig?
Nein! Wie hast du denn da integriert?
Der Ansatz

b_{k} = \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{π} x \cdot sin (k \cdot x) d x

ist noch richtig, aber dein Ergebnis falsch (Vorzeichen!!)

Wobei du dir das Leben auch ein klein wenig leichter hättest machen können, denn bei symmetrischen Funktionen reicht es für die Bestimmung der von Null verschiedenen Koeffizienten, nur über eine halbe Periode zu integrieren und dafür das Ergebnis zu verdoppeln.
In deinem Fall also

b_{k} = 2 \cdot \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{π} x \cdot sin (k \cdot x) d x

Wenn eine Grenze Null ist, so ist die Auswertung meist ein wenig einfacher

>

Wie mache ich jetzt weiter?
Nach Richtigstellung deines Integrals beachte zum einen, dass die Kosinus-Funktion eine gerade Funktion ist

(cos (- α) = cos (α))

und daher

cos (- k \cdot π) = cos (k \cdot π)

gilt.
Außerdem kann

cos (k \cdot π)

für

k \in ℤ

nur die Werte

+ 1

oder

- 1

annehmen - je nachdem ob

k

gerade oder ungerade ist.
Du kannst also

cos (k \cdot π) = {(- 1)}^{k}

schreiben.

Du solltest jedenfalls auf

b_{k} = {(- 1)}^{k + 1} \cdot \frac{2}{k}

kommen.

anonymous

17:43 Uhr, 04.01.2019

Hallo
Willst du dir die Reihenfolge der Integralgrenzen nochmals anschauen?

Dann tätest du uns Korrektoren schon einen Dienst, wenn du nicht Gedankenspünge präsentierste, sondern schon auch zeigst, welches Integral du denn nun raus bekommen hast. Ich konnte zwar nachrechnen, aber eben nur, indem ich deine Hausaufgaben machte.

Ich hab's nur überflogen, aber ich ahne, bis auf die Integralgrenzen - und damit das Vorzeichen - könnte das gut sein. Zumindest kann ich deine Frage
"Ist der Weg bis jetzt richtig?"
guten Gewissens bejahen.

So, nun solltest du wissen

cos (α) = cos (- α)

Folglich:

B_{k} = - \frac{1}{π} \cdot [\frac{π}{k} \cdot cos (k \cdot π) + \frac{π}{k} \cdot cos (k \cdot π)]

= - \frac{1}{π} \cdot 2 \cdot \frac{π}{k} \cdot cos (k \cdot π)

= - \frac{2}{k} \cdot cos (k \cdot π)

Tipp:
Fallunterscheidung:

>

Was geschieht für gerade Werte für k?

>

Was geschieht für ungerade Werte für k?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1453915

1453902

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?