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Fourierreihe einer zusammengesetzten Funktion

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Fourier-Reihenentwicklung, Fourierreihe

Schmitz aktiv_icon

12:19 Uhr, 22.02.2018

Hallo zusammen,

Ich habe eine Aufgabe mit der ich leider schon im Ansatz nicht so recht weiter weiß. Die Aufgabe lautet wie folgt:

"Die Funktion

f (x)

hat in dem Intervall von 0 bis

π

die Form

f (x) = 4 h x \frac{π - x}{π^{2}}

und in dem Intervall von

π

bis

2 π

die Form

f (x) = 4 h \frac{x^{2} - 3 π x + 2 π^{2}}{π^{2}}

und setzt sich dann mit einer Periode von

2 π

in beide Richtungen fort. Bestimmen Sie die Fourierreihe dieser Funktion"

Eine Lösung habe ich gegeben mit

f (x) = \frac{32 h}{π^{3}} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(2 n - 1)}^{3}} \cdot sin ((2 n - 1) x)

.

So nun zu meinen Überlegungen:

Die Formeln für die Fourierreihe sowie den Faktoren

a 0,

an und bn habe ich und denke die eigentliche mathematische Berechnung sollte auch keine Probleme bereiten. Mein Problem ist der Ansatz...

Meine Idee war jetzt erstmal

a 0

gesammt mit

a 01 + a 02 = a 0

auszurechnen mit folgendem Ansatz:

a 01 = \frac{4 h}{π^{3}} \int_{- π}^{π} π x - x^{2} d x

für

0 < x < π

a 02 = 2 \cdot (\frac{1}{π^{3}} \int_{π}^{2 π} 4 h x^{2} - 12 h π x + 8 h π^{2} d x)

für

π < x < 2 π

den Faktor 2 habe ich genommen, da es sich um eine periodische Funktion handelt und ich nur über den Bereich von

π

bis

2 π

integriert habe.

Kann ich grundsätzlich eine solche zusammengesetzte Funktion einfach wie 2 einzelne betrachten und diese dann am Ende summieren?

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe.

Viele Grüße
Schmitz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

12:45 Uhr, 22.02.2018

Hallo
statt von

- π

bis

+ π,

besser von 0 bis

2 π

integrieren. da die fkt stückweise gegeben ist musst du das Integrl unterteilen, von 0 bis

π

und

π

bis

2 π,

wenn du unbedingt von

- π

bis

+ π

integrieren willst ist die fkt 2 für

- π

bis 0 zu nehmen.
ich sehe jetz erst, dass du im ersten Integral nur die falsch untere Grenze hast, dahinter steht es richtig.
der Faktor 2 ist falsch, wenn du nur eine Funktion hättest könntest du ja auch das Integral in 2 Teile teilen (was natürlich unnötig ist.
Gruß ledum

Schmitz aktiv_icon

14:24 Uhr, 22.02.2018

Schonmal vielen Dank für die Hilfe! :-)

Okay.. Also würde das lediglich bedeuten, dass ich in der 1. Funktion statt dem

- π

eine 0 einsatze und bei der 2. Funktion den Faktor 2 raus lasse?

Die addition ist aber richtig um dann

a 0

gesamt zu bekommen?

Und im weiteren Vorgehen dann identisch. Also an für jede Funktion mit entsprechenden Grenzen einzeln und dann addieren und für bn genauso? Natürlich vorher geprüft ob funktion gerade oder nicht, bzw ob ich wirklich beide brauche(habe ich noch nicht gemacht)!

Schmitz

ledum aktiv_icon

16:00 Uhr, 22.02.2018

Hallo
ist so richtig, aber von der Vorstellung her integrierst du über die Gesamtfunktion, die stückweise gegeben ist, weshalb du das Integral aufteilen musst. In anderen Fällen könnte die fkt durch noch mehr Teilstücke gegeben sein.
Gruß ledum

Schmitz aktiv_icon

16:27 Uhr, 22.02.2018

Super! Vielen Dank! :-) Hast mir sehr geholfen!

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