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Fourierreihe gerade ungerade Funktion

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Fourier analyse, Fourierreihe

flowerpower1234 aktiv_icon

18:22 Uhr, 08.12.2018

Hallo, ich versuche gerade zu beweisen, dass die Fourier-Reihe von

f : ℝ \to ℝ

bei geradem

f

(ungeradem) die Gestalt

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} cos (k x)

bzw.

\sum_{k = 1}^{\infty} b_{k} sin (k x)

hat

Ich habe mal mit der geraden Funktion angefangen. Die ungerade müsste dann ja analog gehen. Bei der geraden Funktion sind die

b_{k}

ja 0.

b_{k} = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (x) sin (k x) d x

b_{k} = - \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (- x) sin (- k x) d x

denn

f (x) = f (- x)

bei geraden Funktionen und

sin (x) = - sin (- x),

sin (x)

eine ungerade Funktion

Substituiere

t = - x

d x = - d t

b_{k} = \frac{1}{π} \int_{0}^{- 2 π} f (t) sin (k t) d t

Vertausche Integralgrenzen:

b_{k} = - \frac{1}{π} \int_{- 2 π}^{0} f (t) sin (k t) d t

Leider komme ich hier nicht mehr ganz weiter.
Für Hilfen bin ich dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

00:16 Uhr, 09.12.2018

Hallo
du musst ja über eine Periode integrieren, nimm statt 0 bis

2 π

besser

- π

bis

+ π,

dann das Integral von

- π

bis 0 mit dem von 0 bis

π

addieren,
Gruß lul

Roman-22

00:34 Uhr, 09.12.2018

Ist

f (x)

gerade, dann ist

f (x) \cdot sin (k \cdot x)

eine ungerade Funktion und deren Integral über ein Intervall das symmetrisch zu 0 liegt, also zB von

- π

bis

π,

ist natürlich Null.

Genauso ist, wenn

f (x)

ungerade ist,

f (x) \cdot cos (k x)

eine ungerade Funktion und daher

\int_{- π}^{π} f (x) \cdot cos (k x) d x = 0

flowerpower1234 aktiv_icon

15:18 Uhr, 09.12.2018

ok danke für die Hilfe
Ich war mir nicht sicher, ob man das Intervall, in dem man integriert von 0 bis

2 π

einfach zu

- π

bis

π

ändern darf (bei beiden Fällen ist das Intervall ja noch

2 π

lang), weil bei mir die Koeffizienten nur von 0 bis

2 π

definert wurden.
Mit dem Intervall von 0 bis

2 π

kann man die Behauptung wahrscheinlich nicht zeigen oder?

ledum aktiv_icon

18:27 Uhr, 09.12.2018

Hallo
da die Funktion

2 π

periodisch ist kann man über jede

2 π

lange Stück integrieren. also auch von

127 π

bis

129 π

oder von

\frac{π}{10}

bis

2 π - \frac{π}{10}

usw.
du kannst aber auch benutzen das

sin (x + π) = - sin (x)

ist und von 0 bis

2 π

integrieren, bei dem anderen Intervall muss man nur nix umrechnen.
Gruß ledum

flowerpower1234 aktiv_icon

21:43 Uhr, 09.12.2018

ok danke das hat mir dann geholfen :-)

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