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Fourierreihe von |sin(x)| von 0 bis Pi

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Integration

Tags: Fourierreihe, Funktion, Integration

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21:12 Uhr, 05.06.2015

Hallihallo, :-)

in der letzte Vorlesung haben wir zum ersten Mal die Fourierreihen kennengelernt und ich übe nun ein wenig, um mit dem Thema firm zu werden. Hierbei bin ich über folgende Aufgabe gestolpert.

Entwickeln Sie

f (x) = ∣ s i n (x) ∣

im Intervall

[0; π [

in eine Fourierreihe.

Ich bin nun etwas verwirrt über das Intervall (normalerweise wird entwickelt von

[0; 2 π]

oder

] - π; π [

?)und nicht ganz schlüssig darüber, ob ich die Fourierreihe wie herkömmlich entwickeln darf oder ich gar die Grenzen verändern muss? Alles, worüber ich mir sicher bin, wäre zumindest, das der Betrag der Sinusfunktion eine achsensymmetrische Funktion ist und somit die Berechnung aller

b_{n}

schon mal wegfallen würde. :-)

Ich wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

19:36 Uhr, 06.06.2015

>

Ich bin nun etwas verwirrt über das Intervall (normalerweise wird entwickelt von

[

0;2π] oder ]-π;π[?)

Was ist schon normal ;-)
Du kannst jede periodische Funktion in eine FOURIER-Reihe entwickeln. Die Periode

2 π

ist da nur ein (etwas einfacherer) Spezialfall.

>

oder ich gar die Grenzen verändern muss?
Ja, genau das musst du! Ist das denn sooo schlimm? Integriert wird immer über eine volle Periode und das ist in deinem Fall eben nur

π

. Ob du das nun von 0 bis

π

oder von

- \frac{π}{2}

bis

+ \frac{π}{2}

machst, ist egal. Wenn du dich für letzteres Intervall entscheidest kannst du die Axialsymmetrie zur Ordinatenachse ausnutzen, von 0 bis

\frac{π}{2}

integrieren und dann verdoppeln. Wird aber hier kaum einfacher sein als direkt von 0 bis

π

zu integrieren. Den Betrag kannst du dabei vernachlässigen, da

sin (x)

im Bereich

(0; π)

ohnedies positiv ist.

>

achsensymmetrische Funktion ist und somit die Berechnung aller bn schon mal wegfallen würde.

Wenn du mit

b_{n}

die Amplituden der Sinus-Anteile bezeichnest, dann ist das richtig.

Nur zur Sicherheit und für alle Fälle die Formel für die FOURIER-Reihe im Reellen für eine Funktion

y (t)

mit der allgemeinen Periode

T :

y (t) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cdot cos (n ω t) + b_{n} \cdot sin (n ω t)]

dabei gilt

ω = \frac{2 π}{T}

a_{0} = \frac{1}{T} \cdot \int_{(T)} y (t) d t

a_{n} = \frac{2}{T} \cdot \int_{(T)} (y (t) \cdot cos (n ω t)) d t

b_{n} = \frac{2}{T} \cdot \int_{(T)} (y (t) \cdot sin (n ω t)) d t

und

\int_{(T)}

soll dabei eine Integration über eine volle Periode

T

bezeichnen.

Wie die angefügte Grafik zeigt, nähert die FOURIER-Reihe dieser Vollwellengleichrichtung bereits mit recht wenigen Gliedern die Funktion sehr gut an.

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