Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Fourierreihe - wie die Periode bestimmen?

Fourierreihe - wie die Periode bestimmen?

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen

Michel1234 aktiv_icon

16:28 Uhr, 06.02.2023

Hallo, ich bräuchte einmal Hilfe bei der unten gezeigten Aufgabe. Ich arbeite mich gerade erst in das Thema ein und habe noch überhaupt nicht verstanden, wie ich die Aufgabe angehen soll. Die Funktion konnte ich skizzieren, allerdings weiß ich nicht, wie es jetzt weiter geht. Vor allem ist mir nicht klar, wie ich die Periodizität der Funktion bestimmen soll.

Schonmal vielen Dank für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:36 Uhr, 06.02.2023

Hallo
da sie von

- 4

bis 4 geht ist die Periode

8,

(periodisch fortsetzen heisst du fängst am Ende wieder mit dem Anfang an also von 4 bis

6 f (x) = - 1

usw. wenn du sie zeichnest siehst du auch dass sie symmetrisch zur

y -

Achse ist, also nur

cos

Terme.
Gruß leduml

Michel1234 aktiv_icon

16:53 Uhr, 06.02.2023

Kann jemand vielleicht die Aufgabe einmal vollständig lösen und ggf. das Vorgehen erklären? Dann wäre das wahrscheinlich für mich leichter nachzuvollziehen. Besten Dank.

calc007

17:16 Uhr, 06.02.2023

Der Aufgabentext gibt schon den Ratschlag, die Funktion mal zu skizzieren und vor Augen zu führen. Auch die periodische Fortsetzung sollte so Zugang und Verständnis erhöhen.
Ein wenig Eigenleistung wäre sicherlich ratsam angemessen. Dann könntest du vielleicht auch konkretisieren, wo du wirklich Schwierigkeiten hast, um dir gezielter helfen zu können, ohne den ganzen Rattenschwanz vorkauen zu müssen.

Michel1234 aktiv_icon

17:50 Uhr, 06.02.2023

Ja, skizziert habe ich die Funktion schon. Ich weiß allerdings nicht, wie ich unterscheiden kann ob ich

a_{n}

oder

b_{n}

berechnen muss. Hat irgendwas mit der Symmetrie zu tun, aber das ist mir wie gesagt nicht klar. Dann bestimme ich die Periode

l

der Funktion und setzte ein in:

a_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (t) cos (\frac{n π}{l} t) d t

Wie fahre ich dann fort? Erstmal 8 für

l

einsetzen? Dann muss ich das Integral ja irgendwie so anpassen, dass ich

f (t)

durch einen Ausdruck ersetzen kann oder nicht?

Roman-22

19:27 Uhr, 06.02.2023

>

Ich weiß allerdings nicht, wie ich unterscheiden kann ob ich an oder bn berechnen muss. Hat irgendwas mit der Symmetrie zu tun, aber das ist mir wie gesagt nicht klar.

Die Frage hat dir doch ledum bereits beantwortet, ohne dass du sie stellen musstest. Es handelt sich um eine gerade Funktion (sie ist symmetrisch zur Ordinatenachse) und daher wird die Fourierreihe auch nur gerade Funktionen, also Kosinus-Funktionen enthalten.
Die Koeffizienten der Sinusaneile, die du vermutlich

b_{n}

nennen möchetst, sind also alle Null.
Du kannst sie ja übungshalber dennoch berechnen und zeigen, dass da immer Null rauskommt.
Aber das solltest du doch in der dir zur Verfügung stehenden Literatur (Fachbücher, Vorlesungsskript, Mitschrieb) erklärt finden, oder? Zur Not (und wirklich nur zur Not) kann da auch eine schnelle Suche im Internet was Brauchbares zutage fördern.

>

Dann bestimme ich die Periode

l

der Funktion
Ja, das hat ledum auch schon für dich getan

>

und setzte ein in:

>

an=1l∫−llf(t)cos(nπlt)dt

>

Wie fahre ich dann fort? Erstmal 8 für

l

einsetzen?
Naja, falls

l

die Periodendauer sein soll, dann klar, was sonst? Allerdings solltest du dir Formel nochmal überlegen und mit deinen Unterlagen abgleichen! Es sieht so aus, als hättet ihr mit

l

die halbe Periodendauer

\frac{T}{2}

bezeichnet! Somit also

l = 4

>

Dann muss ich das Integral ja irgendwie so anpassen, dass ich

f (t)

durch einen Ausdruck ersetzen kann oder nicht?
??? Was meinst du damit ??

f (t)

ist doch in der Angabe vorgegeben. Es handelt sich um eine stückweise definierte Funktion. Genauer gesagt hat der Angabenersteller einen Fehler begangen, da er für die Sprungstellen

\pm 2

beide Funktionswerte

\pm 1

zulässt. Durch diese Mehrdeutigkeit handelt es sich formal um keine Funktion mehr. Man müsste also zwei der

\leq

Zeichen in

<

Zeichen umwandeln. Auf die Berechnung der Fourier-Reihe hat dieser Fauxpas aber keinerlei Einfluss.

Zwei Dinge gibt es nun zu beachten.
Zum ersten eine Vereinfachung, die du auch in deiner Literatur finden solltest: Da es sich bei

f (t)

um eine gerade Funktion handelt, genügt es bei der Berechnung der Kosinus-Koeffizienten

a_{n},

über die halbe Periode von 0 bis 4 zu integrieren und dafür dass Ergebnis zu verdoppeln. Das ersparte einem hier die Sprungstelle bei

- 2

.
Und zum Zweiten musst du, da es sich ja um eine stückweise definierte Funktion handelt, auch das Integral zerstückeln, also einmal von 0 bis 2 (da ist

f (t) = 1)

und dann ein weiteres Integral von 2 bis 4 (da ist

f (t) = - 1)

.

Zu deiner Kontrolle: Für jedes zweite

a_{n}

sollte Null rauskommen, konkret ist

a_{n} = 0

für gerade

n

.

Also fang an zu rechnen und wenn du auf Probleme stößt, sag konkret was unklar ist und poste deine bisherige Rechnung hier.

Im Anhang ein Bild, dass die gegebene Funktion und fünf Fourier-Näherungen der periodischen Fortsetzung zeigt. Einmal mit nur einem Summanden (Grundwelle), dann

5, 10, 20

und

50

Summanden (Oberschwingungen) - wobei natürlich wie beschrieben jeder zweite Summand Null ist).

pwmeyer aktiv_icon

13:21 Uhr, 07.02.2023

"Ich weiß allerdings nicht, wie ich unterscheiden kann ob ich an oder bn berechnen muss."

Das klingt eventuell etwas merkwürdig. Zur Klarstellung: Es gibt auch Funktionen ohne Symmetrie, dann muss man

a_{n}

und

b_{n}

berechnen.

Michel1234 aktiv_icon

14:34 Uhr, 07.02.2023

Danke für die Hilfe. Ist das soweit korrekt?

Roman-22

15:50 Uhr, 07.02.2023

>

Ist das soweit korrekt?
Nein, das Integral von

cos (ω \cdot t)

ist NICHT

- sin (ω \cdot t) \cdot ω,

sondern

- sin (ω \cdot t) \cdot \frac{1}{ω}

.
Außerdem hast du beim Einsetzen der Integralgrenzen konsequent das

n

in den Sinus-Funktionen verschusselt.

Das richtige Ergebnis zu deiner Kontrolle:

a_{n} = \frac{4}{π \cdot n} \cdot sin (n \cdot \frac{π}{2})

Für gerade

n

ist also

b_{n} = 0!

Dass du dir wegen der Symmetrie ein wenig Arbeit ersparen könntest indem du nur den Bereich von 0 bis 4 berechnest und das Ergebnis dafür verdoppelst, das hab ich ja oben schon geschrieben.

Wenn du das richtige

a_{n}

dann raus hast, könntest du der Übung halber auch

b_{n}

berechnen und schauen, ob du da auch wirklich für jedes

n

Null rausbekommst.
Es ist ja nicht so, dass, dass man

b_{n}

nicht benötigt, wie du schreibst. Natürlich benötigt man immer beide. Nur bei symmetrischen Funktionen weiß man, dass je nach Art der Symmetrie einer von beiden Koeffizienten immer Null ist und kann sich daher die Rechnung ersparen.

Michel1234 aktiv_icon

16:24 Uhr, 07.02.2023

Wenn ich die ganzen Sinus-Terme zusammenfasse kommen da aber doch einfach Zahlen raus oder? Also

- 1,0

oder 1. Wie kommt man auf den Teil

sin (n \frac{π}{2})

Roman-22

16:37 Uhr, 07.02.2023

Das

n,

welches ja auch in den Sinus-Funktionen steht, verschwindet doch nicht einfach, wenn du für

t

die Grenzen einsetzt!

Michel1234 aktiv_icon

16:49 Uhr, 07.02.2023

Ja, dass ich das

n

vergessen habe ich mir klar. Aber wenn ich jetzt

a_{2 n}

betrachte, also alle geraden

n,

dann erhalte ich doch für jeden Sinus einen Wert? Also

z . B . : - sin (- n \cdot \frac{π}{2})

für gerade

n = - 1

Roman-22

18:23 Uhr, 07.02.2023

>

dann erhalte ich doch für jeden Sinus einen Wert?
Richtig! Und zwar den Wert Null (und nicht

- 1)

für gerade

n

Also für mich gilt

sin (2 \cdot \frac{π}{2}) = sin (4 \cdot \frac{π}{2}) = sin (6 \cdot \frac{π}{2}) = sin (2 k \cdot \frac{π}{2}) = 0

für

k \in ℕ

Siehst du das anders?

Und für die ungeraden

n

haben wir alterniernde Vorzeichen

sin (1 \cdot \frac{π}{2}) = sin (5 \cdot \frac{π}{2}) = sin (9 \cdot \frac{π}{2}) = sin ((1 + 4 k) \cdot \frac{π}{2}) = + 1

sin (3 \cdot \frac{π}{2}) = sin (7 \cdot \frac{π}{2}) = sin (11 \cdot \frac{π}{2}) = sin ((3 + 4 k) \cdot \frac{π}{2}) = - 1

Eine kompakte Darstellung der Fourier-Reihe dieses Rechteckssignals, wie man sie auch in vielen Formelsammlungen finden kann, lautet daher

f (t) = \frac{4}{π} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} [\frac{{(- 1)}^{k}}{2 k + 1} \cdot cos ((2 k + 1) \cdot \frac{π}{4} \cdot t)]

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1567097

1567040

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?