Fouriertransformation zweier Funktionen (Produkt)

Hallo,

Ich habe die folgende Funktion gegeben:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0}$

Ich soll die Fouriertransformierte berechnen. Die Funktion u(t) ist die Sprungfunktion, d.h. ich betrachte nur den Bereich t>0 (rechtsseitig).

Heißt das ich integriere von 0 bis unendlich ?

Ich habe folgendes:

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\int }_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\left[\frac{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{-(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}\right]}_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+{\int }_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Wie komme ich auf das Ergebniss: ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{1}{(\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Danke

A das erste wird 0 für beide Grenzen, weil e^(-t) schnell gegen 0 geht.

Beim 2. erhalte ich${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=0+{\left[\frac{-1}{(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}\right]}_0^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0+0+\frac{1}{(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Edit: Hatte vorhin Vorzeichenfehler im Integral..

Darf ich hier weitere Fragen zur Fouriertransformation stellen, damit ich nicht immer ein Thema für Kleinigkeiten aufmache???

Vielen Dank

Danke, hab den entdeckt...Ich dachte wird aufdringlich wenn man zu viele Fragen stellt.

Vielen vielen Dank