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Fouriertransformierte und Bewegungsgleichung

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Tags: DGL, fouriertransformation

Eleonora71 aktiv_icon

19:02 Uhr, 16.05.2014

Hellooo.

Betrachten Sie den gedämpften harmonischen Oszillator der von einer externen, periodischen Kraft

f (t + T) =

f(t)angetrieben wird, wobei

T

die Periode ist. Die Bewegungsgleichung lautet:

m \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + 2 γ \frac{d q}{d t} + m ω^{2} q = f (t),

wobei

ω

die Oszillatorfrequenz und

γ > 0

die Dämpfung ist.

Bei

a)

soll die Fouriertransformierte der Bewegungsgleichung und die Fouriertransformierte

t i l d e {q}

der Lösung bestimmt werden

Im Aufgabenteil

b)

sei

f (t) = F_{0} cos (Ω t),

berechnen Sie die Lösung

q (t)

der Bewegungsgleichung mittels Fouriertransformation. Zeigen Sie, dass diese eine periodische Funktion in der Zeit ist, deren Periode mit der der antreibenden Kraft übereinstimmt.

c)

Skizzieren Sie die Amplitude von

q (t)

als Funktion von

Ω

für verschiedene Werte von

γ

. Betrachten Sie insbesondere den Fall

γ = 0

. Finden Sie die Resonanzfrequenzen an welchen die Amplitude ihr Maximum erreicht und diskutieren Sie die Resonanzen.

Fouriertransformierte Formel:

\bar{q (t)} = Q (f) (t) = \int_{ℝ^{n}} f (x) e^{- i t \cdot x} d x

Wie berechne ich aber die Bewegungsgleichung mit der Fouriertransformierten?

\int_{ℝ^{n}} (m \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + 2 γ \frac{d q}{d t} + m ω^{2} q) \cdot e^{- i t \cdot x} d x

Die Variablen verwirren mich da schon. Oder sollte es so lauten:

\int_{ℝ^{n}} (m \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + 2 γ \frac{d q}{d t} + m ω^{2} q) \cdot e^{- i ω t} d t

?
Anschließend nochmal die Fouriertransformierte bilden?

b)

f (t) = F_{0} cos (Ω t),

wieder die Fouriertransformierte.
Aber wie sieht die Formel, variablenmäßig aus.

\int_{ℝ^{n}} (F_{0} cos (Ω t)) \cdot e^{- i ω t} d t

so? Was ist eig mein Integrationenintervall?

Viele Grüße Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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19:12 Uhr, 16.05.2014

Versuche die Regel

ℱ (f^{(n)}) (ξ) = i^{n} ξ^{n} ℱ (f) (ξ)

zu benutzen.
(

ℱ

ist die Fourier Transformation).

Eleonora71 aktiv_icon

19:16 Uhr, 16.05.2014

Oh hallo. Danke für schnelle Antwort.

Du meinst ich soll das Integral

\int A + B = \int A + \int B

machen. Also aufteilen? Und vorher die zweite Ableitung und die erste mit

i^{2}

und

i

davor machen?

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19:25 Uhr, 16.05.2014

Ja, aufteilen.

Eleonora71 aktiv_icon

19:31 Uhr, 16.05.2014

Ich habe ein Problem mit den Variablen, wenn ich die Funktion bzw. Bewegungsgleichung einsetze dann muss ich die anpassen, also auch "transformieren" zu der Variablen im Integral sprich bei mir

t \to x

und wie nehme ich "was auch immer das für ein griechischer Buchstabe ist" zum Quadrat also die Fouriertransformation?

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12:52 Uhr, 17.05.2014

Was für Variablen verwendet werden, ist doch egal.
Wende die Fourier-Transformation (in meiner Bezeichnung

ℱ

) auf die Gleichung

m \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + 2 γ \frac{d q}{d t} + m ω^{2} q = f (t)

und bekomme

m ℱ (\frac{d^{2} q}{d t^{2}}) + 2 γ ℱ (\frac{d q}{d t}) + m ω^{2} ℱ (q) = ℱ (f) = > - m x^{2} ℱ (q) + 2 γ i x ℱ (q) + m ω^{2} ℱ (q) = ℱ (f) = >

= > ℱ (q) (- m x^{2} + 2 γ i x + m ω^{2}) = ℱ (f)

Dabei ist

x

die neue Variable, also sieht die Fourier-Transformation so aus:

ℱ (f) (x) = \int f (t) e^{- i x t} d t

Eleonora71 aktiv_icon

12:04 Uhr, 18.05.2014

"Was für Variablen verwendet werden, ist doch egal."

Ja nur in dem Variablenwirr konnte und kann ich noch nicht ganz durchblicken. Was ist denn das jetzt für ein Buchstabe? Ich bin das ganze griechische Alphabet durchgegangen und es wird mir hier nicht so angezeigt wie deins.

Der eine ist ja ein XI

ξ

aber der andere?

Was deutest du an mit dem komischen Buchstaben bezogen auf die Bewegungsgleichung? Die Fouriertransformierte von der Bewegungsgleichung bzw. der einzelnen Termen, ja. Aber die zwei Folgepfeile verstehe ich nicht.

Danke DrBoogie

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12:24 Uhr, 18.05.2014

Wenn Du Probleme mit Buchstaben hast, vergiss sie.
Du kannst auch mit Integralen arbeiten.
Auf Integrale übertragen hast Du dann

\int_{ℝ^{n}} (m \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + 2 γ \frac{d q}{d t} + m ω 2 q) \cdot e^{- i t \cdot x} d x = m (- x^{2}) \int_{ℝ^{n}} q \cdot e^{- i t \cdot x} d x +

+ 2 γ i x \int_{ℝ^{n}} q \cdot e^{- i t \cdot x} d x + 2 m ω \int_{ℝ^{n}} q \cdot e^{- i t \cdot x} d x

.

Aber ich finde schon komisch, muss ich sagen, dass diese Schreibweise für Dich einfacher ist.

Eleonora71 aktiv_icon

13:15 Uhr, 18.05.2014

Doch jetzt habe ich die Formel verstanden und sehe es sehe es besser. Mir ist jedoch noch was nicht ganz klar.

Zum einen was ist jetzt aber das Integrationsgebiet, die Frage ist ja noch nicht geklärt

ℝ^{n}

? Dann könnte ich das Integral auch berechnen konkret kann ich ja eigentlich auch schon machen bis auf die Grenzen, also:

\int_{ℝ^{n}} (m \frac{d q^{2}}{d t^{2}} + 2 γ \frac{d q}{d t} + m ω^{2} q) \cdot e^{- i t x} d x := A

Jetzt wird das Integral aufgeteilt und die folgende Formel benutzt:

Φ (f^{n} (t)) = i^{n} t^{n} Φ (t)

(⋆)

Mit

(⋆) \Rightarrow A = m \cdot (- x^{2}) \int_{ℝ^{n}} q \cdot e^{- i t x} d x + 2 γ i x \int_{ℝ^{n}} q \cdot e^{- i t x} d x + 2 m ω \int_{ℝ^{n}} q \cdot e^{- i t x} d x

Jetzt verstehe ich aber nicht die letzte Zusammensetzung des Integrals. Wieso

2 m ω

? Müsste es nicht

m ω^{2}

vor dem Integral sein?

Danke.

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13:17 Uhr, 18.05.2014

Ja, hab mich nur vertippt.

Und der Bereich ist

R^{n}

wie gehabt.

Eleonora71 aktiv_icon

13:29 Uhr, 18.05.2014

Okay alles klar, danke.

ℝ^{n}

was heißt das jetzt? Von

- \infty

bis

\infty

m \cdot (- x^{2}) \int_{ℝ^{n}} q \cdot e^{- i t x} d x + 2 γ i x \int_{ℝ^{n}} q \cdot e^{- i t x} d x + m ω^{2} \int_{ℝ^{n}} q \cdot e^{- i t x} d x

Eine Frage wieso kann man das

q

nicht herausziehen? Darf man doch? Ist ja unabhängig von der Integrationsvariablen. Ich komme dann bis hier hin? Wie werte ich das jetzt aus

= {[\frac{m \cdot x^{2} \cdot q \cdot e^{- i t x}}{i t}]}_{ℝ^{n}} + {[- \frac{2 γ i x \cdot q \cdot e^{- i t x}}{i t}]}_{ℝ^{n}} + {[- \frac{m \cdot ω^{2} \cdot q \cdot e^{- i t x}}{i t}]}_{ℝ^{n}}

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13:32 Uhr, 18.05.2014

Nein, nein,

q

ist von

t

abhängig, siehe oben, deshalb kannst Du nicht rausziehen.

Eleonora71 aktiv_icon

13:34 Uhr, 18.05.2014

Okay habe ich mir gedacht. Und was ist mit dem Rest stimmt's?

Danke DrBoogie:-)

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13:35 Uhr, 18.05.2014

Und ich denke, in Deinem Fall ist

n = 1

, also

R^{n} = R

und die Integration geht von

- \infty

bist

\infty

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13:44 Uhr, 18.05.2014

Ich weiß nicht, was mit dem Rest ist.
Noch sind wir im Punkt a). Wie man es löst, habe ich oben mit "komischen Symbolen" gezeigt, jetzt sind wir nur dabei, diese Symbole durch Integrale auszudrücken. :-)
Es gibt aber noch b), c) und d). :-)

Eleonora71 aktiv_icon

13:50 Uhr, 18.05.2014

Ja ich weiß, leider.

a)

wäre ja schon mal was, aber man muss ja nochmal dann von dem Ergebnis die Fouriertransformierte bilden?

{[\frac{m \cdot x^{2} \cdot q \cdot e^{- i t x}}{i t}]}_{- \infty}^{+ \infty} + {[- \frac{2 γ i x \cdot q \cdot e^{- i t x}}{i t}]}_{- \infty}^{\infty} + {[- \frac{m \cdot ω^{2} \cdot q \cdot e^{- i t x}}{i t}]}_{- \infty}^{\infty}

e^{- \infty}

geht ja gegen Null

e^{\infty}

gegen

\infty

Wie schreibe ich das jetzt formal richtig auf? Da muss man ja irgendwie mit dem Limes ran?

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14:00 Uhr, 18.05.2014

Du kannst in dieser Aufgabe keine Intergrale berechnen, darum geht es auch nicht.
Du musst nur die Fouriertransformierte von

q

durch die Fouriertransformierte von

f

ausdrücken. Die Formel "mit dem schönen F" habe ich weit oben schon mal aufgeschrieben.

Eleonora71 aktiv_icon

14:22 Uhr, 18.05.2014

Schönem f? Zeigt mein Browser Inhalte nicht an, oder wie...

: (

Oder meinst du echt die im Anhang gemeinte Formel haben wir doch benutzt?

Eleonora71 aktiv_icon

13:18 Uhr, 19.05.2014

Hm ? ? ? Was ist denn nun

: (

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13:26 Uhr, 19.05.2014

Ich mache es mit dem einfachen

F

. :-)

Wenn

F (f)

und

F (q)

- die Fouriertransformierten von

f

und

q

sind (also

F (f)

ist eine Funktion von

x

,

definiert durch

F (f) (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} q (t) e^{- i t \cdot x} d x

und entsprechend für

q

), dann haben wir die Gleichung

F (q) (- m x^{2} + 2 γ i x + m ω^{2}) = F (f)

, aus welcher sofort

F (q) = \frac{F (f)}{- m x^{2} + 2 γ i x + m ω^{2}}

folgt.

Das ist auch die Lösung für a), mehr gibt's nichts.

Eleonora71 aktiv_icon

13:30 Uhr, 19.05.2014

Okay, aber das ist doch nur die Fouriertransformierte der Bewegungsgleichung, aber nicht von

q

tilde? Sprich der Fouriertransformierte der Bewegungsgleichung.

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13:36 Uhr, 19.05.2014

Was ist denn

q

tilde?

Eleonora71 aktiv_icon

13:44 Uhr, 19.05.2014

Ja ich denke die Fouriertransformierte von der Bewegungsgleichung. Der orginale Textlaut ist:

a)

Finden Sie die Fouriertransformierte der Bewegungsgleichung und die Fouriertransformierte

q

tilde der Lösung.

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14:40 Uhr, 19.05.2014

Gemeint ist damit: wenden Sie Fourier-Transformation auf die Gleichung und bestimmen die Fourier-Transformierte von

q

(das ist q tilde) .
Ich habe genau das gemacht. Mehr gibt's hier nicht zu machen.

Eleonora71 aktiv_icon

15:50 Uhr, 19.05.2014

Dann habe ich wohl ein Verständnisproblem. Ich meine na gut ich bin nicht die hellste, aber wenn da steht berechnen Sie die Fouriertransformierte der Bewegungsgleichung und die Fouriertransformierte

q

tilde der Lösung, dann heißt es de facto zwei mal Fouriertransformierte berechnen :-D) Aber wo haben wir denn hier zwei mal berechnet :-D)

Bei

b)

geht's doch genauso nur mit

F_{0} cos (Ω t)

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16:23 Uhr, 19.05.2014

Wir haben Fourier auf die gesamte Gleichung angewandt, das war auch "die Fouriertransformierte der Bewegungsgleichung".
Oder was, glaubst Du, es sein kann, eine "Fouriertransformierte der Gleichung"?
Es gibt eigentlich gar keine "Fouriertransformierte der Gleichung", man kann nur Funktionen (oder Distibutionen) transformieren, und "Fouriertransformierte der Gleichung" ist einfach ein salopper Ausdruck dafür, dass man Fourier auf beide Seiten der Gleichung anwendet.
Und wie man sieht, ist es kein besonders geschickter Ausdruck, weil er nur für Verwirrung sorgt.

Und bei b) hast Du eine ganz konkrete Funktion und brauchst ihre Fourier-Transformierte. Also eigentlich müsstest Du integrieren:

\int F_{0} \cos (Ω t) e^{- i x t} d t

, aber leider existiert so ein Integral nicht. Die Fourier-transformierte von Cosinus ist keine Funktion, sondern eine Distribution, konkret ist es eine Summe aus zwei Dirac-Funktionen. Also musst Du mit Distributionen arbeiten, und ich weiß nur eins - ich will Dir nicht erklären, was Distributionen sind. :-) Also hoffentlich kennst Du sie schon.

Eleonora71 aktiv_icon

16:33 Uhr, 19.05.2014

Distributionen? Sind damit Delta-Funktionen gemeint? Diese "Stecknadel"-Funktionen die an einer stellen quasi herausstechen und sonst Null sind?

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16:34 Uhr, 19.05.2014

Delta-Funktionen, auch Dirac-Funktionen genannt, sind nur besondere Distributionen, die ganze Klasse ist viel größer. Aber eigentlich brauchst Du nur Deltas.

Eleonora71 aktiv_icon

16:42 Uhr, 19.05.2014

Was ist denn bei

b)

die Delta-Funktion und was die "normale"?

"Normal" sieht es ja irgendwie so aus:

\int_{ℝ^{n}} δ (x) f (x) d x

Und dann bestimmt man die Nullstellen glaube ich von der Delta-Funktion? Und dann?

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17:11 Uhr, 19.05.2014

Und dann versuchst Du ein Bisschen selber zu lernen. :-)
Sorry, ich kann keine Vorlesungen ersetzen.
Deine Wissenslücken sind einfach zu groß.
Ich kann höchstens anbieten, die Lösung zu schreiben, aber erklären werde ich sie nicht können. Nicht jemandem, der Nullstellen von Delta-Funktion suchen will. :-)

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17:35 Uhr, 19.05.2014

Die Lösung.
Aus a) wissen wir:

F (q) = \frac{F (f)}{- m x^{2} + 2 γ i x + m ω^{2}}

.
Für konkrete Funktion

f = F_{0} \cos (Ω t)

ist die Fourier-Transformierte

F (f) = F_{0} (δ (x + Ω) + δ (x - Ω))

(hier ist eine nützliche Tabelle mit Fourier-Transformierten,

\cos

ist da Punkt 25:
http://info.php-4.info/attachment.php?attachmentid=385&sid=1887badd70653b8350f0af6105ae9db5.
Der Faktor

π

in der Tabelle ist durch die Definition bedingt - es gibt leider keine einheitliche Definition für Fourier-Transformation, ich nutzte die Definition mit dem Faktor

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

, aber ich weiß nicht, welche Definition in der Ausgabe vorausgesetzt wird, deshalb kann es sein, dass die Lösung noch "justiert" werden muss).

Damit ist

F (q) (x) = F_{0} \frac{δ (x + Ω) + δ (x - Ω)}{- m x^{2} + 2 γ i x + m ω^{2}} = F_{0} (\frac{δ (x + Ω)}{- m Ω^{2} - 2 γ i Ω + m ω^{2}} + \frac{δ (x - Ω)}{- m Ω^{2} + 2 γ i Ω + m ω^{2}})

.

Damit können wir

q

wieder mit Hilfe der Tabelle rekonstruieren, denn wir wissen aus der Tabelle, dass

δ (x - Ω) = F (e^{i Ω t})

.

Damit ist

q (t) = F_{0} (\frac{e^{- i Ω t}}{- m Ω^{2} - 2 γ i Ω + m ω^{2}} + \frac{e^{i Ω t}}{- m Ω^{2} + 2 γ i Ω + m ω^{2}})

Eleonora71 aktiv_icon

17:45 Uhr, 19.05.2014

Okay danke sehr. Die Schritt sind eigentlich klar. Danke für die Tabelle die ist echt mega gut! Eine Frage hätte ich aber dazu. Was macht denn die Fouriertransformierte aus der

a)

bei der

b)

. Wie kommt die dahin?

Außerdem ist ja zu zeigen, dass diese eine periodische Funktion in der Zeit ist, deren Periode mit der der antreibenden Kraft übereinstimmt. Wie zeigt man das eine Funktion periodisch in der Zeit ist?

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17:54 Uhr, 19.05.2014

"Was macht denn die Fouriertransformierte aus der a) bei der b). Wie kommt die dahin?"

a) ist eine allgemeine Regel, welche in b) auf eine konkrete Funktion angewandt wird. Ohne a) kann man b) gar nicht lösen.

"Wie zeigt man das eine Funktion periodisch in der Zeit ist?"

e^{i x} = e^{i (x + 2 π)}

, deshalb ist

e^{i x}

periodisch mit Periode

2 π

.
Deshalb ist

e^{i Ω x}

periodisch mit Periode

2 π / Ω

Eleonora71 aktiv_icon

18:05 Uhr, 19.05.2014

Und wie schreibt man das formell richtig auf?
Reicht da nur zu sagen, dass

e^{i Ω x}

ist periodisch mit Periode

\frac{2 π}{Ω}

Ist ja an sich nur eine Behauptung, man soll es ja aber zeigen? Und woran sehe ich, dass diese periodische Funktion mit der Periode der antreibenden Kraft übereinstimmt?

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18:17 Uhr, 19.05.2014

"Ist ja an sich nur eine Behauptung, man soll es ja aber zeigen?"

Echt? Zeigen, dass

e^{i Ω t}

die Periode

2 π / Ω

hat?
OK. Beweis:

e^{i Ω (t + 2 π / Ω)} = e^{i Ω t + 2 i π} = e^{i Ω t}

.
Noch Fragen? ;-)

"Und woran sehe ich, dass diese periodische Funktion mit der Periode der antreibenden Kraft übereinstimmt?"

Antreibende Kraft ist

F_{0} \cos (Ω t)

. Was denkst Du, welche Periode sie hat?

Eleonora71 aktiv_icon

18:31 Uhr, 19.05.2014

F_{0} cos (Ω (t + \frac{2 π}{Ω})) = F_{0} cos (Ω t + 2 π) = F_{0} cos (Ω t)

Hihi :-D) sry.

Danke sehr.

Verbleibt also nur noch

c)

"die Amplitude von

q (t)

als Funktion von

Ω

für verschiedene

γ . .

.

die Amplitude ist die Auslenkung meistens ja das was vor dem

cos

oder

s i n

steht. Woran erkenne ich denn hier die Amplitude? Und wie zeichne ist das?

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