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Konvergenzsabszisse, Laplacetransformation

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Konvergenzabszisse, laplace, Partialbruchzerlegung

CarlaColumna aktiv_icon

13:25 Uhr, 17.06.2016

Guten Morgen,

ich habe Probleme mit der Konvergenzabszisse

: (

ich habe jetzt herausgefunden dass es die Konvergenz der x-Achse ist. Sprich der Grenzwert gegen

+ \infty

des Terms. Ich komme aber immer auf Null und das ist falsch.

Zudem hackt es noch an der komplexen Partialbruchzerlegung. Da gibt es ja irgendwie einen Trick wenn man komplex-konjugierte Nullstellen hat, siehe Lösung.

Wenn ich es per Hand ausrechnen möchte komme ich auf irgendwas anderes immer.

U (s) = \frac{A}{s - 3} + \frac{B \cdot s + c}{s^{2} + 2 s + 10} = \frac{A}{s - 3} + \frac{B \cdot s + c}{(s + 1 + 3 j) \cdot (s - 3 j + 1)}

und meine Koeffizienten sind ja aus dem Zähler zu betrachten:

- s^{2} + 34 s - 118

Und damit komme ich nicht auf die Lösung. Ich bekomme viel zu hohe Koeffizienten heraus.

Ich wäre von Herzen dankbar, weil ich schon Tage daran sitze und den Dreh nicht herausfinde

: (

Carla

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

10:42 Uhr, 18.06.2016

Hallo,

mir ist noch nicht klar, welche Hilfe Du jetzt brauchst. Zunächst zeigt die Lösung ja, dass Du den richtigen Ansatz gemacht hast, allerdings den zweiten Term noch in Einzelterme zerlegen musst.

Wenn Du dann einen Fehler in der Rechnung hast, wirst Du Deine Rechnung hier posten müssen, damit jemand nach diesem Fehler suchen kann.

Was die Konvergenzabszisse angeht, scheint Ihr dazu Infos in der Vorlesung behandelt zu haben, die mir nicht geläufig sind. Aus der Lösung ist allerdings zu sehen, dass das Laplace-Integral tatächlich für Re(s)>3 konvergiert.

Gruß pwm

CarlaColumna aktiv_icon

11:07 Uhr, 18.06.2016

Hey vielen Dank. Was meinst du genau mit den zweiten Term, in Einzelterme zerlegen? Ich muss doch Erweitern und die PBZ bestimmen?

Also wie folgt Vorgehen:

\frac{A}{s - 3} + \frac{B \cdot s + C}{s^{2} + 2 s + 10} = \frac{A \cdot (s^{2} + 2 s + 10) + B s^{2} - 3 B s + C s - 3 C}{(s - 3) \cdot (s^{2} + 2 s + 10)}

Und jetzt Koeffizientenvergleich machen. Das stimmt doch?

Ja das mit der Konvergenzsabszisse ist mir rätselhaft und aus der Vorlesung geht mir das nicht hervor. Und ich habe mir sie wirklich etliche Male durchgelesen..

Ich habe jetzt die Definition nochmal beigefügt. Ich muss also auf jedenfalls einen Grenzwert bestimmen und zwar für

+ \infty

damit es in der rechten Halbebene sich befindet. Jedoch von was genau. Du sagst von dem Laplace-Integral, sprich von der Ausgangsfunktion

L (u)

? Aber das konvergiert doch gegen Null.

Carla

CarlaColumna aktiv_icon

11:07 Uhr, 18.06.2016

Hey vielen Dank. Was meinst du genau mit den zweiten Term, in Einzelterme zerlegen? Ich muss doch Erweitern und die PBZ bestimmen?

Also wie folgt Vorgehen:

\frac{A}{s - 3} + \frac{B \cdot s + C}{s^{2} + 2 s + 10} = \frac{A \cdot (s^{2} + 2 s + 10) + B s^{2} - 3 B s + C s - 3 C}{(s - 3) \cdot (s^{2} + 2 s + 10)}

+ \infty

damit es in der rechten Halbebene sich befindet. Jedoch von was genau. Du sagst von dem Laplace-Integral, sprich von der Ausgangsfunktion

L (u)

? Aber das konvergiert doch gegen Null.

Carla

pwmeyer aktiv_icon

13:57 Uhr, 18.06.2016

Hallo,

man kann bei der Partialbruchzerlegung entweder ansetzen

\frac{B \cdot s + C}{s^{2} + 2 \cdot s + 10}

oder

\frac{F}{s + 1 + 3 \cdot j} + \frac{G}{s + 1 - 3 \cdot j}

Am Ende kommt für die Laplace-Rücktransformation dasselbe heraus, die angegebene Lösung scheint die zweite Variante zu bevorzugen.

Was die Abszisse angeht, dann geht es um die Frage, für welche

s

das Lapalce-Transformations-Integral konvergiert

\int_{0}^{\infty} e^{- s \cdot t} u (t) d t

Die in der Lösung angegebene Funktion

u (t)

lässt sich für große

t

durch

c \cdot e^{3 \cdot t}

abschätzen (mit einer Konstanten

c),

daher muss

s > 3

sein.

Gruß pwm

CarlaColumna aktiv_icon

14:53 Uhr, 18.06.2016

Hey,

also die zweite Methode habe ich noch nie gesehen. Es gibt einen Trick mit dem konjugiert komplexen aber den kann man glaube ich nur anwenden wenn man nur komplexe Nullstellen hat, aber wir haben ja noch eine reelle.

Also mache ich es mal nach der ersten Methode:

\frac{A}{s - 3} + \frac{B \cdot s + C}{s^{2} + 2 \cdot s + 10} = \frac{A \cdot (s^{2} + 2 \cdot s + 10) + (s - 3) \cdot (B + s + C)}{(s - 3) \cdot s^{2} + 2 \cdot s + 10}

= \frac{A \cdot (s^{2} + 2 \cdot s + 10) + B \cdot s^{2} - 3 \cdot B \cdot s + C \cdot s - 3 \cdot C}{(s - 3) \cdot s^{2} + 2 \cdot s + 10}

Ausklammern:

= \frac{A \cdot (s^{2} + 2 \cdot s + 10) + B \cdot s^{2} - 3 \cdot B \cdot s + C \cdot s - 3 \cdot C}{(s - 3) \cdot s^{2} + 2 \cdot s + 10}

= \frac{s^{2} \cdot (A + B) + s \cdot (2 A - 3 B + C) + 10 A - 3 C}{(s - 3) \cdot s^{2} + 2 \cdot s + 10}

So jetzt KOFFVGL:

A + B = - 1

mit

B = - 1 - A

2 A - 3 B + C = 34

10 A - 3 C = - 118

mit

C = \frac{- 118 - 10 A}{- 3}

Alles in die zweite Gleichung:

2 A - 3 \cdot (- 1 - A) + \frac{118 + 10 A}{3} = 34

\Rightarrow 5 A + 3 + \frac{118 + 10 A}{3} = 34

\Rightarrow 5 A + \frac{118 + 10 A}{3} = 31 \Rightarrow \frac{25 A + 118}{3} = 31

\Rightarrow 25 A + 118 = 93

und

\Rightarrow 25 A = - 25

woraus

\Rightarrow A = - 1

B = 0

C = 12

Und das stimmt ja wohl nicht

: (

Gemeint ist wann der Integrand also

e^{- s \cdot t} \cdot u (t)

für

s \to \infty

konvergiert? Und wieso lässt sich dass mit einer Konstanten abschätzen die dann 3 ist? Und wieso setzt du

s = 3

ein? Da happert's...

Dankeschön,

Carla

PS: Ich finde einfach den Fehler nicht, da ist wohl was faul

: (

pwmeyer aktiv_icon

13:56 Uhr, 20.06.2016

Hallo,

Du hast 2 Fehler gemacht:

(s - 3) \cdot (s^{2} + 2 \cdot s + 10)

ist nicht der Nenner aus der Ausgangsfunktion, es fehlt ein Faktor

(- \frac{1}{2})

Du hast Dich bei

C

verrechnet.

Gruß pwm

CarlaColumna aktiv_icon

18:23 Uhr, 20.06.2016

Ja stimmt.. danke für den Hinweis! Dann kann ich ja einfach die

- \frac{1}{2}

in den Zähler hineinmultiplizieren, dann wäre es ja wieder äquivalent zu der Ausgangsgleichung? Den Koeffizienten (also

34

statt

31)

habe ich ebenfalls berücksichtigt.

. .

= \frac{s^{2} \cdot (- \frac{A}{2} - \frac{B}{2}) + s \cdot (- A + \frac{3}{2} B + \frac{C}{2}) - 5 A + \frac{3}{2} C}{(s - 3) \cdot s^{2} + 2 \cdot s + 10}

Dann komme ich immer noch auf ein falsches

A .

(23 A = 50)

" Die in der Lösung angegebene Funktion

u (t)

lässt sich für große

t

durch

c \cdot e^{3 \cdot t}

abschätzen (mit einer Konstanten

c),

daher muss

s > 3

sein. "

Könntest du mir das nochmal genauer erläutern bitte. Vor allem wie man auf die

c \cdot e^{3 \cdot t}

kommt und wieso dies

> 3

sein soll?

Carla

: (

pwmeyer aktiv_icon

08:50 Uhr, 21.06.2016

Hallo,

die Laplace-Transformation ist

\int_{0}^{\infty} e^{- s \cdot t} u (t) d t

Wenn man Konvergenz des Integrals zeigen will, kann man

| u (t) |

abschätzen, hier durch

c \cdot e^{3 \cdot t}

. Dann muss

\int_{0}^{\infty} e^{- s \cdot t} c \cdot e^{3 \cdot t} d t

konvergieren, dass ist für

s > 3

der Fall.

Gruß pwm

CarlaColumna aktiv_icon

09:40 Uhr, 21.06.2016

Hey,

du gehst aber von der Lösung aus und die Konvergenzsbabszisse ist eig die erste Aufgabe.
Wie soll ich die denn bestimmen, wenn ich die Lösung nicht kenne?

Ich verstehe auch noch nicht so ganz wieso man das in der Lösung angegebene

u (t)

für große

t

durch

c \cdot e^{3 t}

abschätzen kann?

Und für

s = 3

würde es doch gegen

c

konvergieren??

Carla

pwmeyer aktiv_icon

08:54 Uhr, 22.06.2016

Hallo,

"Wie soll ich die denn bestimmen, wenn ich die Lösung nicht kenne?"

Ich kenne diesen Begriff nur in dieser Variante. Wahrscheinlich habt Ihr Euch überlegt, dass man die Konvergenzabsszisse auch an den Polstellen von

U (s)

ablesen kann - da musst Du mal in Dein Skript schauen.

"Ich verstehe auch noch nicht so ganz wieso man das in der Lösung angegebene

u (t)

für große

t

durch c⋅e3t abschätzen kann? "

Klammere aus der Lösung

e^{3 \cdot t},

die "Klammer" geht dann gegen 0 für

t \to \infty

.

"Und für

s = 3

würde es doch gegen

c

konvergieren??"

Dann setz mal

s = 3

und berechne das uneigentliche Integral.

Gruß pwm

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