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Frage Stochastische unabhängigkeit von 3 Aussagen

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: stochastische Unabhängigkeit

 
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r3Tro

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19:05 Uhr, 21.11.2020

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Hallo,

Ich habe eine Frage ich komme bei einer Mathe aufgabe nicht weiter :
(1) A,B,C sind unabhängig =⇒ A ∩ B,BC,AC sind unabhängig
(2) AB,BC,AC sind unabhängig =⇒ A,B,C sind unabhängig
(3) A,B,C sind unabhängig =⇒ A⊥⊥B ∩ C, B⊥⊥A ∩ C, C⊥⊥A ∩ B
(4) A⊥⊥B ∩ C, B⊥⊥A ∩ C, C⊥⊥A ∩ B =⇒ A,B,C sind unabhängig

Bei 1 und 2 bin ich mir sicher das dies nicht gilt habe dazu auch jeweils ein Beispiel.
Aber bei 3 und 4 bin ich mir nicht sicher wie ich das anstellen soll den ich glaube das 3 und 4 analog zu 1 und 2 sind oder ? oder wen man dies Zeigen muss weis ich nicht genau wie ? :(

Schonmal vielen Dank für die Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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HAL9000

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19:16 Uhr, 21.11.2020

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Mit scheinst du die Vereinigung zu meinen, LaTeX-Code: \cup

Ausdrücke wie ABC sind ein wenig missverständlich:

Soll das nun (AB)C oder aber A(BC) bedeuten? Eine deutliche Priorisierung einer der Operationen gegenüber der anderen (wie bei Multiplikation gegenüber Addition) ist hier nicht so deutlich festgelegt, deshalb sollte man sicherheitshalber in solchen Fällen immer Klammern setzen.

r3Tro

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19:25 Uhr, 21.11.2020

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hey,
ne eigentlich meine das nicht sondern schon so wie es da steht unser tutor meinte das würde soviel bedeuten wie B⊥⊥A P(AB)=P(A)P(B) und dann ist das halt so gemeint: A⊥⊥(B∩C) , B⊥⊥(A∩C) , C⊥⊥(A∩B)
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HAL9000

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19:32 Uhr, 21.11.2020

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Da soll einer drauf kommen... na gut, lokales Brauchtum an Eurer Uni, warum nicht. :-)

Bei (3) meinst du somit die drei Einzelaussagen

A,B,C unabhängig A und BC unabhängig
A,B,C unabhängig B und AC unabhängig
A,B,C unabhängig C und AB unabhängig

richtig? Die stimmen alle drei! Kannst du ganz geradlinig nachweisen.


r3Tro

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19:41 Uhr, 21.11.2020

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also so wie ich es verstanden habe ja wie würde ich diese beweise beginnen und 4 würde nicht gehen oder ?

P(A∩B)P(A∩C)P(B∩C)!= 0 und A∩B, B ∩C , A∩C sind unabhängig =⇒
A,B,C sind unabhängig

hier bin ich mir glaube ich auch sicher das es nicht geht weil ich auch ein gegenbeispiel habe aber vlt habe ich ja ein Fehler gemacht :-)


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HAL9000

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19:45 Uhr, 21.11.2020

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Ich verstehe dich nicht: Was du dort formelmäßig hingeworfen hast, sieht so ähnlich aus wie (2), nicht wie (4). Wenn du dich bitte mal etwas klarer ausdrücken würdest - zudem würde ich mir bei einem Gegenbeispiel etwas KONKRETERES vorstellen...


Ein Gegenbeispiel zu (4) ist simpel: Einfacher Wurf mit einem Würfel

A ... Augenzahl 1
B ... Augenzahl 2
C ... Augenzahl 3

Passt übrigens auch zu (2).

r3Tro

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19:59 Uhr, 21.11.2020

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Im Anhang Sind die Aufgaben wie sie uns gestellt worden , nur davor noch ein Satz:
Es sei (Ω, F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A,B,CF Beweise oder wiederlege!

Und bei 1,2 bin ich mir sicher das ich es habe.
Bei 3 ist das BSP: Man hat 2 würfel (fair)
-A= "würfel 1 hat eine Augenzahl größer 4"
-B= "augensumme beider würfel muss durch 3 Teilbar sein"
-C= "augensumme beider würfel muss durch 4 Teilbar sein"

dann ist P((A∩B)∩(B∩C)∩(A∩C))=P(A∩B∩C)=1/36=P(A)*P(B)*P(C)

Weiterhin ist P(A∩C)*P(A∩B)*P(B∩C)= 19112130

Aber P(B∩C)=1/3 9361236=p(c)P(B) darus folgt die implikation gilt nicht (3)

und bei 4 und 5 bin ich mich wie gesagt nicht sicher.

Aufgabe12
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HAL9000

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20:10 Uhr, 21.11.2020

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Ok, (3) wird zu (iv), (4) wird zu (v) und es gibt ein neues (iii) - schön, wenn man neben den inhaltlichen Problemen auch noch ein bischen Umnumerierungschaos in die Abarbeitung einführt, man gönnt sich ja sonst nichts. :-)
r3Tro

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20:16 Uhr, 21.11.2020

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Tut mir leid :-) aber ich bin noch neu In Sachen Fragen zu aufgaben im Forum zu stellen :-P)
Aber sieht es richtig aus wie ich es bei III gemacht habe ?
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

21:52 Uhr, 21.11.2020

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(iii) stimmt, aber es ist schon etwas schräg:

Aus der Unabhängigkeit von AB, AC und BC folgt

P(AB)P(AC)P(BC)=P(ABC) .

Aus der Unabhängigkeit von AC und BC folgt

P(AC)P(BC)=P(ABC) .

Wegen P(AC)P(BC)0 folgt daraus P(AB)=1 und analog P(AC)=1 und P(BC)=1. was zwangsläufig P(A)=P(B)=P(C)=1 zur Folge hat. Da außerdem dann auch noch P(ABC)=1 gilt, ist die Unabhängigkeit von A,B,C komplett.

r3Tro

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22:49 Uhr, 21.11.2020

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Ah das wäre dann für III) ok danke ;-) bei iv) muss man:
A,B,C sind unabhängig ⇒ A⊥⊥(B∩C)
A,B,C sind unabhängig ⇒ B⊥⊥(A∩C)
A,B,C sind unabhängig ⇒ C⊥⊥(A∩B)

Alle 3 implikationen zeigen oder ?
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HAL9000

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23:11 Uhr, 21.11.2020

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Zu (iv)=(3) bzw. (v)=(4) hatte ich mich oben schon geäußert, da hat sich in den letzten Stunden nichts dran geändert.
r3Tro

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00:03 Uhr, 22.11.2020

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Bei einem Einfacher Wurf mit einem Würfel ist es doch so:

A =" Augenzahl 1"
B =" Augenzahl 2"
C =" Augenzahl 3"

Dann ist doch P(A∩(B∩C))= 0=(16)0 (da B und C nicht Gleichzeitig geht)=P(A)*P(B∩C)
(Dann muss ja A,B,C sind unabhängig folgen) aber P(A∩C) =0(136)=(16)(16)=P(A)P(B). und damit ist (v) Wiederlegt wen ich richtig liege :-)
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