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Frage bezüglich gebrochen Rationalen Funktionen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Analysis, Funktion, Gebrochen-rationale Funktionen

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19:25 Uhr, 14.08.2018

Hallo zusammen,

ich befinde mich gerade in der Klausurvorbereitung und hoffe ihr könnte mir mit meinen Fragen weiterhelfen :-)

Frage 1

r (x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}

Für diese Funktion sollte ich die Nullstellen finden und sagen ob sie gerade oder ungerade sind. Um die Nullstellen zu berechnen habe ich zunächst die Funktion mit

x + 2

multipliziert, somit hatte ich dann

\to 0 = x^{2} - 4

Dann ging es recht simpel weiter mit

0 = x^{2} - 4

(Plus

4)

4 = x^{2} (\pm

Wurzel)

x_{1} = 2

x_{2} = - 2

Soweit so gut, woher weiß ich jetzt welchen grad

x 1

hat und welchen grad

x 2

hat ? Oder habe ich einen Fehler beim berechnen der Nullstellen gemacht ?

Frage 2

Bestimmen sie die Polstellen (sind die Polstellen gerade oder ungerade?)

r (x) = \frac{(x - 4) (x + 6) (x - 3)}{{(x + 1)}^{2} (x^{2} - 9)}

In diesem Fall habe ich zunächst versucht die Nennerfunktion ungleich Null zu setzen, um damit die Definitionslücke herauszufinden
dort habe ich dann wie folgt gerechnet :

0 \neq (x + 1) (x + 1) \cdot (x^{2} - 9)

Zunächst habe ich die ersten beiden Klammern verrechnet und zusammengefasst.

0 \neq x^{2} + 2 x + 1 \cdot (x^{2} - 9)

Am Ende hatte ich dann

0 \neq x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 18 x - 9

Dann habe ich das Horner Schema angewandt und hatte folgendes Ergebnis

x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 3

Durch den Taschenrechner hatte ich dann folgende Definitionslücken

x_{1} = - 3

x_{2} = - 1

x_{3} = 3

Danach habe ich die Gesamte Funktion

= 0

gesetzt (vorher habe ich mit dem Nenner multipliziert)

0 = (x - 4) (x + 6) (x - 3)

Dann habe ich ebenfalls zuerst die ersten beiden Klammern verrechnet und zusammengefasst.

0 = (x^{2} + 2 x - 24) (x - 3)

Dieses Ergebnis dann ebenfalls ausgerechnet und Zusammengast hat bei mir folgendes ergeben :

0 = x^{3} - x^{2} - 30 x + 72

Dann habe ich mit dem Taschenrechner folgende Ergebnisse erhalten :

x_{1} = - 6

x_{1} = 4

x_{3} = 3

Ich versteh gerade nicht mal mehr was ich da getan habe genauer gesagt wie ich die Fragestellung mit meinen Rechnung beantworten kann ? Fehlt da was , oder ist mein Ansatz komplett falsch ?

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen !

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

abakus

19:28 Uhr, 14.08.2018

Hallo,
da die Funktion an der Stelle -2 nicht einmal definiert ist, kann sie dort auch keine Nullstelle haben.

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19:37 Uhr, 14.08.2018

Hey Danke für deine Rückmeldung,

ich weiß leider nicht ganz wie ich das verstehen soll , ich habe doch im Rechenweg oben dieses Ergebnis erhalte, habe ich etwas falsch gerechnet oder wieso ist

- 2

falsch ?

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19:50 Uhr, 14.08.2018

f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}

hat bei

x = - 2

eine hebbare Defintionslücke:

f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x + 2} = x - 2

Darum ist auch nur an der Stelle

x = 2

eine Nullstelle.

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

19:54 Uhr, 14.08.2018

zu 2)Hier kannst du den Nennerterm

x^{2} - 9

umformen zu dem Term

(x + 3) \cdot (x - 3)

und

(x - 3)

mit dem entsprechenden Zählerterm kürzen.

mfG

Atlantik

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19:55 Uhr, 14.08.2018

Achsoo ! Also verstehe ich das richtig :

Ich hätte auch zuerst die Nennerfunktion ungleich Null setzten können, dann hätte ich gewusst das bei

- 2

die Definitionslücke vorliegt?

Wie sieht es eigentlich mit der zweiten Frage aus ?

Vielen Dank schonmal !

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20:06 Uhr, 14.08.2018

Kurze Ergänzung :

Frage 1 ist gelöst.

Zu Frage 2 bin ich jedoch noch etwas verwirrt..

Als ich die Definitionslücke berechnet habe , habe ich ja die Werte

: - 3; - 1; 3

erhalten.

Das sind meine Definitionslücken sprich hier verläuft der Graph nicht ? Die Nullstellen muss ich aber dennoch berechnen damit ich sehen kann ob ich eine Lücke habe (falls es Überschneidungen gibt) ?

Woran sehe ich jetzt genau ob diese gerade oder ungerade sind ?

Und auch die Erläuterung mit dem umformen und kürzen verstehe ich grade nicht ganz.

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20:26 Uhr, 14.08.2018

Also wenn ich kürze erhalte ich folgende Nullstellen

x_{1} = 4

x_{2} = - 6

Das sagt mir ja, dass keine Lücke vorhanden ist und es sich somit um Polstellen handelt, soweit so gut aber woher weiß ich ob diese nun gerade oder ungerade sind ?

Erkenne ich dies direkt wenn ich mir

x_{1} = - 3

x_{2} = - 1

x_{3} = 3

Ansehe , oder was genau muss ich hier betrachten um zu sehen ob es sich bei diesen Werten um gerade oder ungerade Polstellen handelt ?

Respon

21:32 Uhr, 14.08.2018

Frage 2
An der Stelle

x = 3

haben wir eine hebbare Lücke.
Polstellen

: x = - 3

und

x = - 1

Überprüfe jeweils das Vorzeichen der Funktionswerte, wenn wir uns einer Polstelle von "links" bzw. von "rechts" nähern.

z . B

x = - 3

Nähern wir uns von "links" ( also Werte

< - 3),

so erhalten wir Funktionswerte

> 0

.
Nähern wir uns von "rechts" ( also Werte

> - 3),

so erhalten wir Funktionswerte

< 0

\Rightarrow

Polstelle mit Vorzeichenwechsel, also ungerader Ordnung.

x = - 1

Nähern wir uns von "links" ( also Werte

< - 1),

so erhalten wir Funktionswerte

< 0

.
Nähern wir uns von "rechts" ( also Werte

≻ 1),

so erhalten wir ebenfalls Funktionswerte

< 0

\Rightarrow

Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, also Polstelle gerader Ordnung.

abakus

22:14 Uhr, 14.08.2018

Hallo breakk,
wie bist du auf die sinnfreie Idee gekommen, beim Nullsetzen von Zähler bzw. Nenner diese auch noch auszumultiplizieren?
Ein Term wie (x+1)²(x²-9) wird genau dann Null, wenn einer seiner Faktoren 0 wird.
Man sieht also hier noch, dass das für x=-1, für x=3 und für x=-3 der Fall ist.
Wenn du das sinnloserweise ausmultiplizierst zu

x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} - 18 x - 9

, siehst du das nicht mehr und musst in der Folge zu Notlösungen wie Taschenrechner und Hornerschema greifen.

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00:52 Uhr, 15.08.2018

Vielen Dank für eure Hilfe habe alles gelöst!

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