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Frage zu Äquivalenzrelation

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Äquivalenzrelation

PeterBaumler aktiv_icon

17:28 Uhr, 05.02.2022

Moin wollte hier einmal fragen ob die Aufgabe so richtig gerechnet ist? Ich weiß formal ist es nicht so optimal. Freue mich über jede Antwort.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:12 Uhr, 05.02.2022

Hallo,

in dem Augenblick, in dem du bei der Reflexivität aus

a = b

folgerst, dass

2 a + b = 3 a (= 3 b)

gilt und damit

k = a (= b)

gewählt werden kann, ist die Reflexivität bewiesen; vorher nicht, jedenfalls nicht ausschließlich anhand eines Beispiels.

Und an diesem Problem kranken deine "Beweise" der Symmetrie und der Transitivität: Du benutzt Beispiele, statt mit Platzhaltern zu rechnen. (Ja, das ist deutlich schwieriger, aber eben spätestens im Studium eben unumgänglich.)

Wie man die Symmetrie und die Transitivität am besten angeht, hängt auch von deinem Vorwissen ab.
Kennst du schon "kongruent modulo"?

Wenn ja, ist es damit ein Kinderspiel.

Wenn nein, nun, dann muss man halt ein bisschen tricksen.

Etwa bei der Symmetrie. Du sollst aus

a R b

(Schreibweise bekannt? Kurz für

(a, b) \in R

. Gerne verwendet z.b. bei

a < b

statt

(a, b) \in <

!) folgern, dass auch

b R a

gilt.

Also folgere aus

3 ∣ 2 a + b

, dass auch

3 ∣ 2 b + a

.
Gelte also etwa

2 a + b = 3 k

und

l := (a + b - k)

.
Dann gilt:

2 b + a = 3 (a + b) - (2 a + b) = 3 (a + b) - 3 k = 3 (a + b - k) = 3 l

Folglich gilt

b R a

, was bewiesen werden sollte.

Kannst du die Transitivität nochmal alleine versuchen?

Mfg Michael

PeterBaumler aktiv_icon

11:45 Uhr, 06.02.2022

Hallo,

danke erstmal für die ausführlich Nachricht! Ich habe jetzt probiert die Transitivität zu beweisen aber verstehe nicht so richtig wie du in der 2. Zeile auf das

2 b + a = 3 (a + b) - (2 a + b)

kommst. Also mir fehlt da glaube ich der Denkansatz. Ich verstehe das es funktioniert aber würde bei einer anderen aufgäbe nicht drauf kommen. Vielleicht kannst du mir ja sonst erklären wie das mit Kongruenz und Modulo funktioniert, das hatte ich auf jeden Fall schonmal in der Vorlesung und verstehe es eigentlich auch gut.

Grüß, Peter

michaL aktiv_icon

12:20 Uhr, 06.02.2022

Hallo,

> aber verstehe nicht so richtig wie du in der 2. Zeile auf das 2b+a=3(a+b)−(2a+b) kommst.

Nun, irgendwie möchte ich das auch Erfahrung schieben.
Zunächst dachte ich wie folgt:

2 a + b = 3 k

(

2 a + b

soll durch 3 teilbar sein)

Wenn nun

2 b + a

NICHT durch 3 teilbar wäre, dann könnte die Summe

2 a + b + 2 b + a = 3 (a + b)

auch nicht durch drei teilbar sein.
Ist es aber. Also muss auch

2 b + a

durch 3 teilbar sein.
(Mit zwei Zahlen

p, q

sind auch Summe und Differenz durch 3 teilbar.)
Also habe ich mir die beiden durch 3 teilbaren Zahlen

3 (a + b)

und

2 a + b

hergenommen und deren Differenz gebildet. Und siehe da: es ergibt sich das gesuchte

2 b + a

.

Zur Kongruenz:

Wir schreiben

a \equiv b

mod 3 genau dann, wenn es eine Zahl

c \in ℤ

gibt, sodass

a - b = 3 c

.

Die Relation "

\equiv

" mod 3 erweist sich als Äquivalenzrelation auf den

ℤ

.
Zudem ist "

\equiv

" mod 3 sogar Kongrenzrelation, d.h. sie ist mit +, -,

\cdot

verträglich.

Es gilt z.b.

2 \equiv - 1

mod 3 oder auch

- 2 \equiv 1

mod 3.
Damit kann deine Relation

R

wie folgt geschrieben werden:

a R b \overset{}{\Leftrightarrow} 3 ∣ 2 a + b \overset{}{\Leftrightarrow} b \equiv - 2 a \equiv a

mod 3.

Na hallo. Damit gilt

a R b

genau dann, wenn

a

und

b

beim Teilen durch 3 den gleichen Rest lassen.

Damit müsste sich auch die Transitivität gut abarbeiten lassen, oder?

Mfg Michael

PeterBaumler aktiv_icon

14:23 Uhr, 06.02.2022

Ok mir ist die Schreibweise mit dem doppelten Kongruenzzeichen nicht ganz klar. Hab das jetzt mal so interpretiert.. Kann man das so machen?

michaL aktiv_icon

19:13 Uhr, 06.02.2022

Hallo,

nun, wenn ihr die Kongruenz mod 3 (oder mod einer anderen Zahl) schon hattet und deren Eigenschaften kennt, dann ist die Aufgabe ziemlich einfach. Dann geht es ja nur darum, diese in der Aufgabenstellung wiederzuerkennen, da ja

a R b

genau dann gilt, wenn

a \equiv b

mod 3 gilt.

Da "

\equiv

" (insbesondere mod 3) eine Äquivalenzrelation ist, ist

R

auch eine. (Ist ja nur ein anderes Symbol für die gleiche Relation!)

Vermutlich musst du daher anders an die Sache herangehen.

Du musst aus

a R b

und

b R c

folgern, dass

a R c

gilt.
Heißt: Aus

2 a + b = 3 k

und

2 b + c = 3 l

musst du ein

m

finden, sodass

2 a + c = 3 m

gilt.

Das ist ziemlich einfach. Schau doch mal genau hin!

2 a + b = 3 k

2 b + c = 3 l

--------------------

2 a + c = 3 m

Mfg Michael

PeterBaumler aktiv_icon

15:48 Uhr, 08.01.2023

Hallo, ich hatte gesehen, dass ich die Frage gar nicht mehr beantwortet habe.. habs jetzt gerade nochmal probiert aber irgendwie bekomme ich die Gleichung nicht gelöst. Mit freundlichen Grüßen Peter