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Frage zu Beweis von Modulo 11

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Primzahlen

Teilbarkeit

Tags: Gruppen, Primzahl, Teilbarkeit

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14:21 Uhr, 21.05.2017

Hallo Leute habe eine kurz Frage zu einem Beweis.

Aufgabe:
Zeigen Sie

10^{i}

≡ ( −

1)^{i} (mod 11)

für

i \geq 0

.
Wie lässt sich daraus für eine allgemeine Zahl der Rest beim Teilen durch elf errechnen?
Tipp: Was ist

a \cdot 10^{2} + b \cdot 10^{1} + c \cdot 10^{0}

modulo

11

?

An sich verstehe ich die Aufgabe jedoch ist meiner Meinung nach die Aussage der Formel falsch. angenommen wir suchen nämlich das Ergebnis von

10 mod 11

. Dann wäre das ja

10

. Laut der oben genannten Formel wäre es aber

- 1

was ja keinen Sinn ergibt. Könnte mir einer sagen wo genau man Denkfehler liegt ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

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14:24 Uhr, 21.05.2017

Definition:

a = b

mod

n

, wenn ein

k

existiert, dass

a - b = n k

.

Daher gilt:

10 = - 1

mod

11

, denn

10 - (- 1) = 11 = 11 \cdot 1

.

Die Formel ist richtig.

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14:44 Uhr, 21.05.2017

Ah ok wusste nicht das die Definition von

a = b mod n,

wenn ein

k

existiert, dass

a - b = n \cdot k

ist.

Daraus folgt ja dann, dass man sagen kann:

10^{i} - {(- 1)}^{i} = k \cdot 11

Jetzt unterscheidet man zwischen 2 Fällen einmal ist

i

gerade und einmal ungerade.
1Fall:

i = 2 n

also gerade

\to 10^{2 n} - 1 = k \cdot 11

2Fall:

i = 2 n - 1

also ungerade

\to 10^{2 n - 1} + 1 = k \cdot 11

Da das beides zutrifft, kann man nun eine beliebige Zahl nehmen, diese in

10

Potenzen aufteilen von denen das Modulo

11

errechnen addieren und hat von der großen Zahl den Modulo

11

.

Und damit habe ich doch die von mir geforderte Aussage bewiesen oder ?

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14:53 Uhr, 21.05.2017

Na ja, so offensichtlich ist es nicht, dass

1 0^{2 n} - 1

durch

11

teilbar ist, also würde ich sagen, dass man das noch beweisen muss.

Und dass Du Definition nicht kennst, das macht mich schon stutzig. Wie hoffst Du denn eine Aufgabe zu lösen, wenn Du nicht mal die dazu gehörende Definition kennst?

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16:18 Uhr, 21.05.2017

Eine weitere Frage die ich zu der oben gestellete Aufgabe habe ist:
Zeigen Sie, dass die Zahl

4.531.893.868

keine Quadratzahl ist, indem Sie den Rest modulo

11

betrachten.

Aber wie soll ich zeigen, dass eine Zahl keine Quadratzahl ist indem ich mit modulo

11

rechne?

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22:01 Uhr, 21.05.2017

Jede Zahl lässt sich als

11 k + m

darstellen mit

m = 0, 1, 2, . . ., 10

.
Quadrat dieser Zahl ist

(11 k + m)^{2} = 121 k^{2} + 22 k m + m^{2}

. Dabei können

m^{2}

die Werte

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

annehmen. Daher kann eine Quadratzahl modulo 11
nur die Werte

0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1

annehmen, also nur

0, 1, 3, 4, 5, 9

.
Wenn also eine Zahl z.B.

= 2

modulo

11

ist, dann kann es keine Quadratzahl sein.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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