Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Frage zu Grenzwert im Unendlichen | x im Exponent

Frage zu Grenzwert im Unendlichen | x im Exponent

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, unendlichkeit

johell aktiv_icon

00:52 Uhr, 31.08.2019

Hallo,

ich bin heute auf einen Term gestoßen, bei dem ich dachte, richtig gerechnet zu haben.
Man sollte im Kopf folgenden Grenzwert berechnen:

lim_{x \to \infty} {(\frac{- 2 \cdot x + 5}{2 - 2 \cdot x})}^{x}

Nun dachte ich, ich berechne zuerst

lim_{x \to \infty} \frac{- 2 \cdot x + 5}{2 - 2 \cdot x} = 1

und anschließend ist

1^{x} = 1

.

Habe mit dem Taschenrechner nachgerechnet:

lim_{x \to \infty} {(\frac{- 2 \cdot x + 5}{2 - 2 \cdot x})}^{x} = e^{- \frac{3}{2}}

Wo liegt mein Fehler? Und wie kommt man im Kopf auf dieses Ergebnis?

Liebe Grüße
Johannes

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Roman-22

01:49 Uhr, 31.08.2019

Der Fehler liegt im "und anschließend".
Du kannst das nicht so einfach hintereinander zusammenstückeln. Ein Audruck der Form "

1^{\infty}

" ist ein unebstimmer Ausdruck, so wie zB auch Ausdrücke der Form " 0/0", "

\frac{\infty}{\infty}

", "

\infty - \infty

". Man kann also nicht einfach behaupten, jeder Ausdruck der Form "

1^{\infty}

" würde immer gegen 1 streben.

Man sollte wissen, dass

lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{a}{x})}^{x} = e^{a}

ist und damit ist dann auch

lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{a}{x + b})}^{x} = e^{a}

.

Jetzt beachte noch, dass

\frac{- 2 x + 5}{2 - 2 x} = 1 - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}

ist und du bist beim Ergebnis.

michaL aktiv_icon

01:55 Uhr, 31.08.2019

Hallo,

man muss einfach irgendwann verstanden haben, dass man Grenzwerte so nicht nacheinander abarbeiten kann.
Genauso ist es bei

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

lim_{n \to inf t} 1 + \frac{1}{n} = 1

, aber

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = : e

, wie du sicher weißt.

Bonmot dazu: Ein Arzt rät einem übergewichtigen Patienten dazu weniger, aber dafür häufiger zu essen. Kurze Zeit danach verstirbt der Patient. Er aß IMMER NICHTS.

Vielleicht erkennst du, dass die Terme ähnlich sind? Das spiegelt sich übrigens auch darin wider!

Aus

e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}

folgt übrigens, dass

\frac{1}{e} = lim_{n \to \infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n + 1}

.

Auf diese Weise kann man allgemein zeigen, dass

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = e^{x}

(1)
gilt.

Nun versuchen wir, deinen Term so umzuformen, dass er auf den letzten Limes passt, wobei ich dein

x

durch ein

n

ersetze (das ist nur Kosmetik):

{(\frac{5 - 2 n}{2 - 2 n})}^{n} = {(1 + \frac{3}{2 - 2 n})}^{n} = {(1 - \frac{3}{2 n - 2})}^{n} = {(1 + \frac{- 1, 5}{n - 1})}^{n} = {(1 + \frac{- 1, 5}{n - 1})}^{n - 1} \cdot (1 + \frac{- 1, 5}{n - 1})

Lässt du darauf den Limes los, so ergibt der erste Faktor wegen (1) den Grenzwert

e^{- 1, 5} = e^{- \frac{3}{2}}

. Der zweite Faktor strebt gegen 1.

Alles klar?

Mfg Michael

supporter aktiv_icon

07:10 Uhr, 31.08.2019

Das Problem ist: Wie kommt man drauf?
Das setzt viel Erfahrung voraus.
Auf den letzten Schritt von Michael kommt auch nicht jeder sofort.
Nur ein Profi sieht den Weg sofort.
Ich wäre auch nur bis zum vorletzten Schritt gekommen. Aber ich bin ja kein Profi.
Wieder was gelernt.
Toll erklärt, Michael! :-))

johell aktiv_icon

19:27 Uhr, 02.09.2019

Hey, danke für eure Antworten, vor allem michaL für deine ausführliche Antwort, ich konnte das nachvollziehen.

Ich hatte an

e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

gerade einfach nicht gedacht, der Rest war ja dann nur noch umstellen.

Bezüglich des letzten Schrittes, das ist einfach Potenzgesetz:

a^{n} = a^{n - 1} \cdot a

Bsp.:

2^{5} = 2^{4} \cdot 2 = 32

In dem Fall möchte man auf den Exponenten = Nenner

(n - 1)

kommen, um dort eine Folge zu erzeugen, die gegen

e^{x}

(wobei

x = - 1,5)

strebt.

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{- 1,5}{n - 1}) = lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{- 1,5}{n - 1} = 1 + 0 = 1

und

1 \cdot lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{- 1,5}{n - 1})}^{n - 1} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{- 1,5}{n})}^{n},

n

gegen unendlich strebt.

Liebe Grüße
Johannes

1479252

1479157

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?