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Frage zu Gruppenhomomorphismus
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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(a) Fur welche natürlichen Zahlen m, n ∈ N gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus (Z/mZ, +) → (Z/nZ, +)? (b) Fur welche natürlichen Zahlen m, n ∈ N gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus (Z/mZ, +) → (Z/nZ, +)? Ich werde sehr dankbar sein,wenn jemanden mir der Aufgabe erklären kann.Obwohl ich viele Materiale gesegen habe,habe ich Probleme mit der Aufgabe.Bitte helfen Sie mir.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, > Ich werde sehr dankbar sein,wenn jemanden mir der Aufgabe erklären kann. Was soll dir denn da erklärt werden? Ich verstehe deinen Wunsch nach Erklärung nicht. Hast du die Aufgabe nicht verstanden? Oder kann es sein, dass du die Lösung gerne einfach so mitgeteilt bekommen möchtest?! In der Hoffnung, dass nicht Letzteres der Fall sein möge, zwei Tipps: 1. Konzentrier dich erst einmal auf eine der beiden Teilaufgaben. 2. Vielleicht hilft dir, über die Ordnung der Elemente in den jeweiligen Gruppen nachzudenken?! Mfg Michael |
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Hallo ! Das Problem ist,dass ich nicht alles ganz genau verstehe. So kann mir jemanden erst über das injektive Homomorphismus erklären. Sagen wir,dass wir zwei Gruppen haben - G und H mit zwei verschiedene Verknüpfungen(*,#). Homomorphismus bedeutet,dass f(g) # f(h) = f(g*h) und Hom(G;H) ist genau dann injektiv , wenn Kern(f) = {eG} Aber ker(f) := {g∈G | f(g) = eH } Heißt das , dass um es injektiv zu sein haben wir eH=eG?? Und außerdem haben wir für Homomorphismus - f(Eg) = Eh . Ich bin total verwirrt. |
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Hallo, ich bin ein bisschen mit deiner Sprache überfordert. Kannst du bitte deine Fragen noch mal neu formulieren? Willst du wissen, was ein injektiver (Gruppen-)Homomorphismus ist? Mfg Michael |
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Hallo, wäre $(Z/2Z, $(Z/3Z, ein Homomorphismus, bekäme man dann für . $-Zeichen habe ich verwendet, damit $Z/2Z nicht als dargestellt wurde. Vielen Dank A. Steiner |
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So das ist mir irgendwie schon klar ( denke ich ). Ich bin der Meinung, dass für meine Aufgabe die Abbildung (Z/mZ, +) → (Z/nZ, +) ist für alle m,n ∈ N injektive Homomorphismus.Weil es ist so : ein Homomorphismus ist injektiv , wenn f^−1 ({eH}) = {eG}. Wir haben + Verknüpfung und dass heißt das unsere neutrales Element ist 0 , egal was für ein m oder ein n wir haben oder? Ich bin mir aber nicht sicher,ob ich es so stellen darf und ob es eigentlich richtig ist... |
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Kann mir jemanden sagen was bedeuten die "{}" in f^-1({eH}) = {eG} |
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Grüße vom KIT bist nicht die einzige, die nicht klar kommt auf die Aufgabe ;-) |
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"Kann mir jemanden sagen was bedeuten die "}" in f^-1({eH}) = {eG}" Naja die Klammern bedeuten einfach nur, dass du eine Menge, die das neutrale Element von enthält, erhältst. Das erscheint zunächst dämlich, aber du musst ja bedenken, dass die Urabbildung nicht nur für Injektive Abbildungen gilt. Das bedeutet im Normalfall könnte auch mehr als ein Wert zurückgeben und das geht nur, indem sie eine Menge mit all den Elementen zurück gibt, die in eingesetzt (hier:-) eH ergeben. |
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Hallo, @Albert-Steiner: Wäre es ein Homomorphismus mit , so müsste gelten, was aber in nicht stimmt. Folglich ist deine Abbildung kein Homomorphismus. Ich hatte der OP als Tipp auch folgendes mitgegeben: >> 2. Vielleicht hilft dir, über die Ordnung der Elemente in den jeweiligen Gruppen nachzudenken?! @steki555: Nein, es gibt nicht für alle Paare injektive Homomorphismen. Es gibt auch nicht für alle Paare surjektive Homomorphismen. Hilfreich ist der Gedanke, dass die Gruppen ja beide zyklisch sind. Insbesondere ist die von der erzeugt, sodass jeder Homomorphismus (wenn er denn einer sein kann) durch die Wahl des Bildes von festgelegt ist. Es stellt sich nur die Frage, ob diese Festlegung wie in Albert-Steiners Fall zu einem Widerspruch führt aufgrund der Ordnungen. Mfg Michael |
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