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Frage zu Kongruenz Modulo

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Kongruenz

8mileproof aktiv_icon

21:41 Uhr, 25.01.2012

hallo, hab folgende frage zu einer aufgabe, die ich versucht habe zu lösen:

also die frage lautet:

Finden Sie die kleinste natürliche Zahl mit

a \equiv 3 \cdot 5^{4} \cdot 11 \cdot 13^{3} (mod 7)

also hier gehts ja glaub ich um das thema Konrugent modulo.
in meinem buch habe ich dazu ein beispiel gefunden, anhand dieses bsps. bin ich an die aufgabe rangegangen.
also das beispiel hieß:

(38 \cdot 22) mod 9

und wir sollten auch hier die kleinsten vertreter aus den restklassen

38

und

22

finden und das sind ja gerade die reste

38 mod 9 = 2

und

22 mod 9 = 4

also nehme ich die beiden kleinsten vertreter 2 und 4 und mache draus:

38 \cdot 22 = 2 \cdot 4 = 8 (mod 9)

und dann steht da noch, dass

38 \cdot 22

bei divison durch 9 den rest 8 hat.

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NUN zu meiner aufgabe:

hier bin ich genauso vorgegangen. hab zu nächsteinmal alle restklassen nach ihren kleinsten vertretern abgesucht:

3 mod 7 = 3

5^{4} mod 7 = 2

11 mod 7 = 4

13^{3} mod 7 = 6

und somit ergibt sich :

3 \cdot 5^{4} \cdot 11 \cdot 13^{3} = 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 = 144 (mod 7)

hab ich das richtig gelöst ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Dreiecke und Kongruenz

Underfaker aktiv_icon

22:06 Uhr, 25.01.2012

Ich habe mir jetzt nicht alles durchgelesen aber soll

144

deine Lösung sein?

\equiv

also kongruenz bedeutet insbesondere, das 2bspw. zwei Zahlen modulo gerechnet denselben Rest haben, du musst also die kleinste natürliche Zahl finden die modulo 7 den selben Rest wie die Rechnung in der Aufgabe.

144

ist auch eine Lösung aber nciht die kleinste natürliche Zahl, denn

144 {mod}_{7}

geht aber auch kleiner.

Du müsstest noch

144

durch 7 mit Rest teilen, welcher Rest?

Nennen wir das Ergebnis

x,

x

kleiner 7 ist und wir eine natürliche Zahl suchen gilt immer:

x = x {mod}_{7}

also kleiner gehts nicht

8mileproof aktiv_icon

10:54 Uhr, 26.01.2012

ach so ja...ich hätte ja noch zusätzlich

144 (mod 7)

bestimmen sollen und das ist gleich 4.also ist doch

a = 4

stimmt das?

Underfaker aktiv_icon

11:49 Uhr, 26.01.2012

Das ist richtig.

8mileproof aktiv_icon

14:41 Uhr, 26.01.2012

okay, danke. vielmals. ich hab diese teilaufgabe aus folgender klausuraufgabe(siehe bild).

zu dieser aufgabe hab ich auch die restlichen teilaufgaben gemacht.

zu

a)

da habe ich ggt(490,155)

= 5

d

ist also

d = 5

der erweiterte euklidische algorithmus ist dann

\bar{5} = 19 \cdot \bar{155} - 6 \cdot \bar{490}

also ist mein

μ = 19

und meine

λ = - 6

b)

dazu hatten wir schon glaub ich alles gesagt/geschrieben.

zu

c)

die gleichung

x \cdot \bar{155} = \bar{10}

aus dem erweiterten euklidischen algorithmus folgt ja:

\bar{5} = 19 \cdot \bar{155} - 6 \cdot \bar{490}

mit 2 mltipliziert ergibt das die obige gleichung:

\bar{10} = 38 \cdot \bar{155} - 12 \cdot \bar{490}

in modulo

490

ist der linke summand gleich 0. also ist

38

unser gesuchte wert

x

x = 38

hab ich alles richtig lösen können? ;-)

8mileproof aktiv_icon

10:36 Uhr, 27.01.2012

also doch falsch, oder?

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