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Frage zu LGS mit unendlich vielen Lösungen
Schüler
Tags: LGS, unendlich
 
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Ich beschäftige mich gerade mit Linearen Gleichungssystemen (LGS) und der Frage, wann diese unendlich viele Lösungen haben. Ich habe gelesen, dass dies der Fall ist, wenn beim Verrechnen der einzelnen Gleichungen eine wahre Aussage "z.B. 4" entsteht. Frage Dies gilt aber nur, wenn ein LGS "eindeutig bestimmt" (Anzahl Variablen = Anzahl Gleichungen) ist oder? Frage Wann hat ein über- bzw. unterbestimmtes LGS unendlich viele Lösungen? Danke für Eure Hilfe! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Nicht unbedingt. Die Aussage, dass ein LGS unendlich viele Lösungen hat, wenn beim Verrechnen eine wahre Aussage wie entsteht, bezieht sich auf den Fall, dass es Abhängigkeiten zwischen den Gleichungen gibt. Dies kann sowohl in einem eindeutig bestimmten als auch in einem über- oder unterbestimmten System der Fall sein. Eindeutig bestimmt: Das bedeutet, dass die Anzahl der Gleichungen der Anzahl der Variablen entspricht. In diesem Fall hat das System unendlich viele Lösungen, wenn eine oder mehrere der Gleichungen durch andere Gleichungen linear abhängig sind. Wenn Sie durch Umformung zu einer Gleichung wie kommen, sind nicht alle Gleichungen unabhängig, und es gibt unendlich viele Lösungen. Überbestimmtes LGS (mehr Gleichungen als Variablen): Ein überbestimmtes LGS hat normalerweise keine Lösung oder eine eindeutige Lösung, weil es mehr Bedingungen gibt als frei wählbare Variablen. Unendlich viele Lösungen sind möglich, wenn nicht alle Gleichungen unabhängig voneinander sind . B. wenn einige Gleichungen durch andere Gleichungen mehrfach ausgedrückt werden). In diesem Fall reduziert sich das System auf weniger Gleichungen, was möglicherweise unendlich viele Lösungen zur Folge haben kann. Unterbestimmtes LGS (weniger Gleichungen als Variablen): Bei einem unterbestimmten LGS gibt es typischerweise unendlich viele Lösungen, weil nicht genügend Gleichungen vorhanden sind, um alle Variablen eindeutig zu bestimmen. In diesen Fällen bleiben einige Variablen "frei", was eine Menge von Lösungen ermöglicht. |
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Vielen Dank für die Antwort. Meine Rückfrage bezieht sich auf (eindeutig bestimmt) Angenommen es handelt sich um ein LGS; also 3 Variablen auf 3 Gleichungen. Können hier "verschiedene Unendlichkeiten" entstehen? Also dass zwei Variablen von einer unendlichen Variablen abhängig sind? Oder dass zwei Variablen unendlich sind? Wie sähen hier Beispiele zu diesen Fällen aus? Vielen Dank für die Hilfe! |
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Einfache Beispiele: Das 1. LGS besitzt genau eine Lösung, das 2. LGS eine EINFACHE Schar von Lösungen, das 3. LGS eine ZWEIFACHE Schar von Lösungen ( Tippfehker suchen, finden, ausbessern ) Bei der Beurteilung der Lösungsmöglichkeiten eines LGS bedient man sich meist der Begriffe " Systemmatrix ", "erweiterte Systemmatrix " und " Rang " . |
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Verschiedene Fälle von unendlich vielen Lösungen bei einem LGS: Eine Variable ist frei (zwei abhängige Variablen): In diesem Fall hängt eine Variable von zwei anderen ab, und diese zwei Variablen können frei gewählt werden, was zu unendlich vielen Lösungen führt. Zum Beispiel kann eine der Variablen als "freie Variable" gewählt werden, und die anderen beiden hängen davon ab. Beispiel: Betrachten wir das folgende 3x3-LGS: Hier ist jede Gleichung eine lineare Kombination der ersten Gleichung, was bedeutet, dass nur eine unabhängige Information vorliegt. Wir können . B. als freie Variable festlegen, und und in Abhängigkeit von wählen. Umgeformt nach z=2−x−y z=2−x−y Hier können und frei gewählt werden, und hängt davon ab. Es gibt also unendlich viele Lösungen, da zwei Variablen diesem Fall und frei gewählt werden können. wei freie Variablen (eine abhängige Variable): Hier gibt es zwei freie Variablen, während die dritte Variable von den beiden freien Variablen abhängt. Das passiert, wenn eine der Gleichungen überflüssig ist oder keine zusätzliche Information liefert, während die anderen beiden Gleichungen von den beiden freien Variablen abhängig sind. Beispiel: In diesem Fall ist die dritte Gleichung nur eine Identität und liefert keine zusätzliche Information. Die erste Gleichung gibt eine Beziehung zwischen und yy an, und die zweite eine Beziehung zwischen und . Man kann eine der Variablen frei wählen . B. und und daraus bestimmen. Aus der ersten Gleichung: y=1−x Aus der zweiten Gleichung: z=2−x Hier gibt es also eine freie Variable und sowohl als auch hängen von dieser einen freien Variablen ab. |
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Oder dass zwei Variablen unendlich sind? Es sind keine Variablen 'unendlich'. Die Lösungen können nur . von einem oder aber auch von zwei frei wählbaren Parametern abhängen (ein oder zwei Freiheitsgrade). Diese Parameter können, müssen aber nicht zwangsläufig mit den verwendeten Variablen ident sein. Wie sähen hier Beispiele zu diesen Fällen aus? Das System hat die eindeutige Lösung Das System hat einen Freiheitsgrad. Du kannst zB beliebig wählen, (und sowieso) sind dann eindeutig bestimmbar Lösung mit Du kannst auch beliebig wählen und damit wäre dann eindeutig bestimmt Lösung mit Du kannst aber auch einen frei wählbaren Parameter zB so einführen Lösung mit . Über die Sinnhaftigkeit der letztgenannten Art, die Lösung anzuschreiben, kann man trefflich diskutieren, korrekt ist sie aber in jedem Fall. Das System hat zwei Freiheitsgrade. Die Lösung lässt sich zB als mit schreiben, aber es sind auch noch viele weitere Möglichkeiten, die Lösung anzugeben, denkbar. In jedem Fall wird sie aber von zwei frei wählbaren Parametern abhängig sein. Das System hat drei Freiheitsgrade - du kannst zB alle drei Variablen frei beliebig wählen. Und der Vollständigkeit halber noch Das System hat keine Lösung. |
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Vielen Dank Euch! Eine letzte Frage: Wenn ich in der linearen Algebra eine Ebene und eine Gerade (im 3-dimensionalen Raum) gleichsetze und die Gerade in der Ebene liegt, dann hat mein LGS unendlich viele Lösungen. Welchen Freiheitsgrad hat dann das LGS? |
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Wenn die Gerade in der Ebene liegt, bedeutet dies, dass dein lineares Gleichungssystem (LGS) unendlich viele Lösungen hat, da die Gerade eine Teilmenge der Ebene ist. In diesem Fall hat das LGS einen Freiheitsgrad. Der Freiheitsgrad gibt an, wie viele unabhängige Parameter du brauchst, um alle Lösungen zu beschreiben. Da die Lösungen entlang der Geraden innerhalb der Ebene verlaufen, kannst du jede Lösung durch einen Parameter (zum Beispiel der Parameter der Geraden) beschreiben. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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