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Frage zu Matrizenrechnung

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

manuelqed aktiv_icon

18:59 Uhr, 26.09.2020

Hi, ich hab eine Frage zum Thema "Auswertung eines Vektors an einer Matrix". Das Problem ergab sich bei der Aufgabe
Sei V=span

{

sin,cos,sin*cos,sin^2,cos^2} ein VR. Bestimme die Matrix für die Ableitung F.

Ich habe die Matrix A berechnet, nun fällt mir aber auf das ich nun anstatt abzuleiten ja einfach ein

v \in V

nehmen kann und mit

A \cdot v

die Ableitung zu bestimmen (laut Theorie im Buch).

Nun ist aber

v

eine Funktion und A eine

5 x 5

Matrix. Kann mir jemand erklären wie ich

A \cdot v

berechnen kann?

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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19:21 Uhr, 26.09.2020

"Ich habe die Matrix A berechnet"

Wie genau?

"nun fällt mir aber auf das ich nun anstatt abzuleiten ja einfach ein v∈V nehmen kann und mit A⋅v die Ableitung zu bestimmen (laut Theorie im Buch)."

Welche Theorie meinst du?

Ist es jetzt gemeint, dass du die Matrix der Abbildung bestimmen musst, die durch Ableitung definiert ist? Dann musst du natürlich ableiten, es geht nicht ohne.

manuelqed aktiv_icon

19:42 Uhr, 26.09.2020

Die Matrix hab ich berechnet indem ich F jeweils auf die Basiselemente sin,cos,... angewendet habe. Danach hab ich ein GLS bekommen und damit die einzelnen (a_ij) ausgerechnet.

Also

F (s i n) = a_{11} * s i n + a_{21} * c o s + a_{31} * s i n * c o s + a_{41} * s i n^{2} + a_{5} 1 * c o s^{2}

.
.
.
F(

c o s^{2}

)=....

Die Matrix ist dann:
A=

\ b e g i n p m a t r i x 0 & - 1 & 0 & 0 & 0

Nun war meine Überlegung, wenn man die Matrix A hat und zb

s i n^{2} + s i n * c o s

ableiten will, also F(

s i n^{2} + s i n * c o s

) berechnen will so kann ich ja auch A*(

s i n^{2} + s i n * c o s

) berechnen.

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20:48 Uhr, 26.09.2020

Ja, wenn die Matrix schon berechnet ist, kann man sie quasi als Ableitung nutzen. Es wird aber nur in dem Vektorraum funktionieren, der durch die 5 angegebenen Funktionen gespannt ist.

manuelqed aktiv_icon

15:17 Uhr, 27.09.2020

Naja

{sin}^{2} + sin \cdot cos

liegt doch in diesem Raum.
Also es ist ja V=span

{

sin,cos,sin*cos,sin^2,cos^2}
und der obere Ausdruck ist eine LK aus Elementen des spans?
Oder versteh ich hier etwas falsch?

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15:18 Uhr, 27.09.2020

Das verstehst du richtig.

manuelqed aktiv_icon

15:22 Uhr, 27.09.2020

Naja dann sollte doch

A \cdot ({sin}^{2} + sin \cdot cos)

die Ableitung von

{sin}^{2} + sin \cdot cos

ergeben.
Ich bekomm jedoch nur eine Matrix raus.

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16:45 Uhr, 27.09.2020

Das verstehe ich nicht. Welche Matrix? Wie berechnest du das?

manuelqed aktiv_icon

17:18 Uhr, 27.09.2020

Die Matrix A ist (sorry für Form aber irgendwie werden Matrizen bei mir mit Latex nicht richtig angezeigt)

a_{11} = 0, a_{12} = - 1, a_{13} = 0, a_{14} = 0, a_{15} = 0

a_{21} = 1, a_{22} = 0, a_{23} = 0, a_{24} = 0, a_{25} = 0

a_{31} = 0, a_{32} = 0, a_{33} = 0, a_{34} = 2, a_{35} = 2

a_{41} = 0, a_{42} = 0, a_{43} = - 1, a_{44} = 0, a_{45} = 0

a_{51} = 0, a_{52} = 0, a_{53} = 1, a_{54} = 0, a_{55} = 0

und somit ist

A * (s i n^{2} + s i n * c o s)

a_{11} = 0, a_{12} = - 1 * (s i n^{2} + s i n * c o s), a_{13} = 0, a_{14} = 0, a_{15} = 0

a_{21} = 1 * (s i n^{2} + s i n * c o s), a_{22} = 0, a_{23} = 0, a_{24} = 0, a_{25} = 0

a_{31} = 0, a_{32} = 0, a_{33} = 0, a_{34} = 2 * (s i n^{2} + s i n * c o s), a_{35} = 2 * (s i n^{2} + s i n * c o s)

a_{41} = 0, a_{42} = 0, a_{43} = - 1 * (s i n^{2} + s i n * c o s), a_{44} = 0, a_{45} = 0

a_{51} = 0, a_{52} = 0, a_{53} = 1 * (s i n^{2} + s i n * c o s), a_{54} = 0, a_{55} = 0

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17:23 Uhr, 27.09.2020

Das ist ziemlich sinnfrei, was du machst.

Man kann

A

nur mit einem Vektor multiplizieren, daher musst du

\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)

als einen Vektor darstellen.

Wenn du die Basis

(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}) = (\sin (x), \cos (x), \sin (x) * \cos (x), \sin^{2} (x), \cos^{2} (x))

hast, dann gilt

\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot \cos (x) = e_{4} + e_{3}

. Damit ist

\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)

gleich

(0, 0, 1, 1, 0)

in dieser Basis.

manuelqed aktiv_icon

17:39 Uhr, 27.09.2020

Vielen Dank, habs endlich verstanden
mfg :-D)

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