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Frage zu Singularitäten
Universität / Fachhochschule
Funktionentheorie
Tags: Funktionentheorie
 
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Ich möchte auf Singularitäten untersuchen sollte offensichtlich sein, aber gibt es nicht noch unendlich viel mehr? Wenn ja, warum ist das so? Wie man in den Grafik unten sieht handelt es sich nicht um eine schlichte Polstelle wie in sondern die Funktion steigert ihre Frequenz immer mehr, je näher man der SIngularität kommt. Wie ist das zu erklären und wie lässt sich die Menge der Singularitäten von angeben?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Du hast ja den Funktionsverlauf schon dir und uns vor Augen geführt. Du scheinst nur noch ein wenig nach dem Verständnis dafür zu tasten. Ich kann dich aber bestärken: "z=1 sollte offensichtlich sein" Ja, bei wird der Nenner des Null, und damit führt der Bruch zu einer Division durch Null, und damit zu einer Singularität. Ich fange mal anders herum an: Mach dir doch klar: Fernab dieser Stelle wird der Bruch sehr sehr klein. Vergleichbar der Hyperbel wird sich der Bruch asymptotisch an die Null-Linie anschmiegen. Wie groß ist der ? Der Bildausschnitt ist für diesen Gedanken noch nicht perfekt gewählt. Wie wird sich der Funktionsverlauf deiner sin-Funktion außerhalb weiter entwickeln? Gibt es einen Grund, Singularitäten zu befürchten? Eng um diese Stelle wird der Bruch immer Betrags-größer. "die Funktion steigert ihre Frequenz immer mehr" ist absolut richtig. Die sin-Funktion pendelt ja auf immer und ewig in ihrem typischen Verlauf zwischen und hin und her. In der Weise in der der Funktionswert des Bruchs immer rasanter steigt, in der Weise verdichtet sich eben die sin-Frequenz. Gibt es einen Grund, weitere Singularitäten zu befürchten? |
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"Wie man in den Grafik unten sieht handelt es sich nicht um eine schlichte Polstelle wie in 1z−1, sondern die Funktion steigert ihre Frequenz immer mehr, je näher man der SIngularität kommt. " Und? Was ist schlimm daran? Die Funktion ist eindeutig stetig (und sogar differenzierbar) für alle außer , daher gibt's dort keine Singularitäten. Die zu 1 hin steigende Frequenz, wie du es nennst, zeigt nur, dass es in eine Singularität geben kann. Übrigens nicht muss. |
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Hallo, hier noch eine Bemerkung zu dem Typ der Singularität an der Stelle : die Laurentreihe von an der Stelle ist offenbar . Da der Hauptteil unendlich viele Glieder hat, besitzt die Funktion in eine wesentliche Singularität. Das ist sozusagen die "gleiche" Singularität wie der Nordpol der Riemannschen Zahlenkugel für die Sinusfunktion. Durch wird der Punkt auf den Punkt abgebildet. Gruß ermanus |
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Wenn man die Funktion hat Liege ich in der Annahme richtig, dass es für diese Funktion genau eine Singularität an der Stelle gibt, welche als wesentliche Singularität klassifiziert werden kann? Für den Ausdruck handelt es sich bei der Stelle ja um eine wesentliche Singularität und bei um eine Polstelle, diese Stelle kann aber nicht beides aufeinmal sein, also handelt es sich um eine wesentliche Singularität, oder? |
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Ja, wesentliche. Aber und nicht . Warum es eine wesentliche ist, ist am einfachsten an der Laurent-Reihe zu erkennen. Wesentlich <=> unendlich viele negative Potenzen in der Reihe. Es ist klar, dass wenn eine Polstelle dazu kommmt, dann bleibt eine wesentliche immer noch wesentlich, denn eine Polstelle ist nur eine negative Potenz. |
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Und wie würde man dann vorgehen, um das Residuum an dieser Stelle zu berechnen? Geht das überhaupt? Wir haben bei uns gelernt, wie man das Residuum bei einem Bruch aus zwei Polynomen bestimmt, da dort immer höchstens Polstellen entstehen. Wenn man eine wesentliche Singularität hat, kann man da überhaupt ein Residuum berechnen? |
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Natürlich. Residuum ist per Definition das Koeffizient bei in der Laurent-Reihe. Du brauchst also nur die Laurent-Reihe. Und sie ist in diesem Fall einfach zu bestimmen. |
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Wenn man in eine Laurent-Reihe entwickelt, so erhält man doch usw. Also ist das Residuum 4 ? |
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Die Reihe ist falsch, aber der erste Summand ist , also ist richtig. Wenn du immer noch die Reihe meinst. |
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Ist die richtige Reihe usw ? |
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Sinus hat nur ungerade Potenzen. |
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Wie wäre es mit der Approximation Nimmt man da erhält Das wäre ja das Residuum, geht das so? |
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Das ist richtig so. Nur ist das keine Approximation. Und diese Reihe kann man auch weiter schreiben: Ist aber für Residuum nicht nötig, natürlich. |
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Vielen Dank für die Hilfe :-) Das hat mir sehr geholfen |
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