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Frage zu Vektorrechnung, Oberstufe, Q2.

Schüler

Tags: Geradengleichung, Mathematik, Vektorrechnung

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14:49 Uhr, 22.08.2011

Hallo,
meine Aufgabe lautet wie folgt:

Ein Ballon startet im Punkt A(2/5/0). Er bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit und ist nach 1 Stunde im Punkt B(4/8/1). Beim Start des Ballons befindet sich ein Flugzeug im Punkt C(10/15/1) und fliegt mit 90 km/h in Richtung

\vec{u}

= (-1 -2 2) (alle Koordinaten in km).

a) Wie weit ist der Punkt C vom Startplatz A des Ballons entfernt?

habe ich gelöst, ist einfach.
Zum Nachrechnen, meine Lösung ist 12,8452 km.

b) Wie viele Minuten nach dem Start des Ballons kommen sich der Ballon und das Kleinflugzeug am nächsten? Wie weit sind sie in diesem Augenblick voneinander entfernt?

Ich habe einen Ansatz, mehr aber auch nicht:

Ballon:

\vec{x}

= (2 5 0) + t * (2 3 1)
Flugzeug:

\vec{y}

= (10 15 1) + t* (-1 -2 2)

so, ich würde die jetzt irgendwie überprüfen, aber wie ?

Bitte um Hilfe, danke :-)

P.s: Wenn ich das so geschrieben habe: (x-y-z) dann ist ein Punkt in dem Koordinatensystem gemeint, wenn ich das so geschrieben habe: (x y z) dann meine ich einen Vaktor :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Geraden im Raum

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14:54 Uhr, 22.08.2011

a)

hast du richtig gelöst. Wenn du bei der

b)

in die Fluggleichung des Ballons

t = 1

einsetzt, erhältst du ja den Punkt, an dem der Ballon nach 1 Stunde ist. Versuche dies auch bei der Fluggleichung des Flugzeugs hinzubekommen.

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15:00 Uhr, 22.08.2011

Also, dann habe ich bei dem Flugzeug (9-13-3) und bei dem Ballon ist es ja Punkt B also (4-8-1).
So, aber woher weiß ich, dass die sich nach einer Stunde am nächsten sind? wieso nicht nach einer Stunde und zwanzig Minuten? Oder soll ich das nun für alle möglichen Lösungen ausprobieren?

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15:11 Uhr, 22.08.2011

Du hast mich falsch verstanden. Du solltest ermitteln, wo das Flugzeug nach einer Stunde ist. Der Betrag vom Richtungsvektor

\vec{u} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

ist

| \vec{u} | = 3

. Das Flugzeug hat aber eine Geschwindigkeit von

90 \frac{k m}{h}

also legt es in einer Stunde

90 k m

zurück. Daher brauchst du den Richtungsvektor

30 \vec{u}

damit in beiden Fluggleichungen die Zeitparameter überhaupt übereinstimmen.
Ballon ist zum Zeitpunkt

t

bei:

\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})

Flugzeug ist zum Zeitpunkt

t

bei:

\vec{y} = (\begin{matrix} 10 \\ 15 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 30 \\ - 60 \\ 60 \end{matrix})

Du kannst auch eine Probe machen. Setze in die Fluggleichung vom Flugzeug

t = 1

ein so erhältst du den Punkt

P (- 20 | - 45 | 61)

. Der Abstand von

C (10 | 15 | 1)

und

P (- 20 | - 45 | 61)

beträgt nun wirklich

90

.
Jetzt wo du weißt wo sich die Flugobjekte zum Zeitpunkt

t

befinden, kannst du ihren Abstand zum Zeitpunkt

t

bestimmen und diese Abstandsfunktion (mithilfe von Differentialrechnung oder mit dem GTR) minimieren.

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15:20 Uhr, 22.08.2011

Achso, ja okay.
Klar, ist logisch.
So, das habe ich und jetzt hast du geschrieben, dass man das mithilfe dem GTR machen kann. Ich habe den TI-84 Plus, wie meinst du das. Gibt es eine spezielle Funktion dafür?
Oder einfach umstellen und dann rechnen lassen?

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15:24 Uhr, 22.08.2011

Der Ballon ist zum Zeitpunkt

t

bei

B_{t} (2 + 2 t | 5 + 3 t | t)

und das Flugzeug ist zum Zeitpunkt

t

bei

F_{t} (10 - 30 t | 15 - 60 t | 1 + 60 t)

. Berechne jetzt mal den Abstand der beiden Flugobjekte zum Zeitpunkt

t

. Also einfach den Abstand der beiden Punkte

B_{t}

und

F_{t}

. Geht so wie immer mit Pythagoras (bzw. Betrag des Verbindungsvektors), lass dich von der Variablen

t

nicht behindern.
Du hast Glück, denn ich habe auch den TI-84 Plus also kann ich dir später sagen was du eingeben musst (wenn wir soweit sind und den GTR "brauchen").

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15:30 Uhr, 22.08.2011

Ja, dann habe ich folgendes raus:

( 8 - 32t)
( 10 - 63t)
( 1 + 59t)

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15:33 Uhr, 22.08.2011

Das ist der Verbindungsvektor zum Zeitpunkt

t

. Dessen Betrag gibt nun den Abstand zum Zeitpunkt

t

an. Schaffst du es diesen zu berechnen? Geht auch wie immer, lass dich nicht von

t

behindern.

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15:42 Uhr, 22.08.2011

okay. dann habe ich folgendes:

\sqrt{165 - 1654 t + 8474 t^{2}}

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15:49 Uhr, 22.08.2011

Alles klar, von der Funktion

d (t) = \sqrt{165 - 1654 t + 8474 t^{2}}

brauchst du nun den Tiefpunkt. Diesen kannst du entweder per Hand berechnen oder mit dem GTR.

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15:56 Uhr, 22.08.2011

Also, mit GTR.
Minumum: X= 0,9759.
Stimmt das ?
Dann noch umrechnen auf die Zeit und dann noch den Abstand berechnen, das schaffe ich :-)

Danke <3 :-)

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16:03 Uhr, 22.08.2011

Achtung: Ich erhalte den Tiefpunkt

T (\frac{827}{8474} | \sqrt{\frac{714281}{8474}})

Das würde heißen, dass sie sich nach fast 6 Minuten am nächsten kommen mit der Minimalentfernung von etwas mehr als neun Kilometer.

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16:36 Uhr, 22.08.2011

klingt gut, meine GTR batterien haben eben ihren Geist aufgegeben, aber ich bin auf 8,7km gekommen :-)

Grüße und nochmals danke :-)
Canon1000Der

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16:47 Uhr, 22.08.2011

8,7 k m

sind aber nicht etwas mehr als

9 k m

. Der minimale Abstand ist ja einfach

d (\frac{827}{8474})

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17:04 Uhr, 22.08.2011

Aber das wären dann doch 0,09759
In Kilometer übersetzt 9,759 oder nicht?
Das ist ja aber nicht nur ein bisschen mehr als 9km :-D)

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17:10 Uhr, 22.08.2011

Du verstehst mich wieder falsch. Ich habe ja

d (\frac{827}{8474})

geschrieben. Also der Funktionswert von

d (t) = \sqrt{165 - 1654 t + 8474 t^{2}}

an der Stelle

t_{m i n} = \frac{827}{8474}

. Das eingesetzt ergibt eben besagte

\sqrt{\frac{714281}{8474}}

. Das sind etwa

9,181

Kilometer.

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17:33 Uhr, 22.08.2011

Achso, ja das stimmt.
Bin heute ein bisschen durch den Wind .. Geburtstag und so .. :-D)

Okay, jetzt habe ich es aber wirklich verstanden :-)

Danke nochmal <3 :-D)

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19:24 Uhr, 22.08.2011

Gern geschehen. Hast du heute Geburtstag? Falls ja alles Gute, falls nein, dann nicht. ;-)

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20:13 Uhr, 22.08.2011

Ja, habe ich :-)
Danke :-)

Greetz und Beetz
Robert .

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21:13 Uhr, 22.08.2011

Dann feier noch schön!

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21:25 Uhr, 22.08.2011

Danke, werde ich :-)