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Frage zu ggT
Universität / Fachhochschule
Elementare Zahlentheorie
Teilbarkeit
Tags: Elementare Zahlentheorie, Teilbarkeit
 
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Hallo, ich habe mal ne kurze Frage bzgl. ggT Seien ganze Zahlen. Wenn a ein Teiler von ist und ggT(a,b)=1 ist, wieso folgt dann, dass a ein Teiler von ist? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hallo, wegen ggT(a,b)=1 haben a und b keine gemeinsamen Teiler. Also ist a kein Teiler von b. Dann muss zwangsläufig a Teiler von k sein, wenn a Teiler von ist. Gruß pivot |
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Gelöscht. |
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Die Argumentation stimmt, sofern Primzahl ist, dann ist das einfach das Lemma von Euklid. Für zusammengesetzte ist aber der bloße Schluss " ist kein Teiler von , dann muss ein Teiler von sein" nicht ganz astrein: Schließlich gibt es Situationen mit , wo weder Teiler vob noch von sein muss, beispielsweise . Man könnte mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung bezogen auf argumentieren: Jeder einzelne Primfaktor von muss in seiner vollen Potenz auch in vorliegen, denn andernfalls müsste er auch in vorkommen, was aber der Teilerfremdheit von widerspricht. |
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Wegen gibt es laut Lemma von Bézout ganze Zahlen mit Außerdem wissen wir, dass laut Voraussetzung für ein ganzes gilt. Damit erhalten wir Also ist Teiler von . |
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Der Beweis über Bézout ist wirklich anratsamer, da Bézout deutlich elementarer als die von mir oben verwendete Primfaktorzerlegung ist. Ein kleiner (glücklicherweise unerheblicher) Fehler hat sich in den Beweis eingeschlichen: Aus folgt tatsächlich und daraus dann wieder . |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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