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Frage zum Abschätzen am Beispiel eines Bruches?

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Tags: Sonstig

tommy40629 aktiv_icon

15:03 Uhr, 09.03.2016

Hi,

in Analysis wird ja fast nur abgeschätzt.

Dort gibt es ja 2 prägende Begriffe "nach oben abschätzen" und "nach unten abschätzen".

Mir geht es darum, ob ich diese 2 Begriffe jetzt richtig oder falsch verstanden habe.

Ich habe gerade versuchte, mir das mit Hilfe des Bruches

\frac{5}{7}

klar zu machen.

"nach oben abschätzen" heißt für mich, man macht etwas größer.
"Oben" und "größer" ist ja fast synonym.

\frac{5}{7}

nach oben abschätzen:

\frac{5}{7} < \frac{5}{6} < \frac{5}{5} < . . . < \frac{5}{1} = 5 < 6 < 7 < . . . < \infty

Es scheint so, als sei

\frac{5}{7}

beim abschätzen nach oben nicht beschränkt.

\frac{5}{7}

nach unten abschätzen:

\frac{5}{7} > \frac{4}{7} > \frac{3}{7} > . . . > \frac{1}{7} > \frac{1}{8} > \frac{1}{9} > . . . > \frac{1}{99999} > \frac{1}{" \infty "} \approx 0

\frac{5}{7}

scheint beim abschätzen nach unten durch

0

beschränkt zu sein, denn Zahlen, die kleiner oder gleich Null sind, sind nicht zu erreichen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

15:09 Uhr, 09.03.2016

\frac{5}{7}

scheint beim abschätzen nach unten durch 0 beschränkt zu sein, denn Zahlen, die kleiner oder gleich Null sind, sind nicht zu erreichen."

Natürlich kann man die erreichen:

\frac{5}{7} > - 1

tommy40629 aktiv_icon

15:33 Uhr, 09.03.2016

Ich hatte gelernt, dass man einen Bruch

\frac{a}{b}

größer macht, wenn man den Zähler größer macht,

\frac{a + 100}{b}

, oder wenn man den Nenner kleiner macht,

\frac{a}{b - 50}

.

Man macht einen Bruch kleiner, indem man den Zähler kleiner macht ,

\frac{a - 20}{b}

, oder den Nenner größer macht,

\frac{a}{b + 33}

.

Aus diesem Grund verstehe ich nicht, wie man durch verkleinern von

\frac{5}{7}

die

- 1

erreichen kann.

\frac{5}{7}

wird ja kleiner, wenn man im Zähler

4

oder auch

5

abzieht.

\frac{5}{7} > \frac{1}{7} > 0

Ich bin der Meinung, dass man im Zähler alle Zahlen einsetzen darf, die größer oder gleich Null sind.
Und im Nenner darf man Zahlen einsetzen, die größer Null sind.

So komme ich darauf, dass

\frac{5}{7}

nie kleiner als

0

werden kann.
Wobei man

\frac{5}{7}

nach oben beliebig größer machen kann.

Das scheint aber nicht ganz zu stimmen. :-((

Roman-22

15:57 Uhr, 09.03.2016

\frac{5}{7}

wird auch definitiv kleiner, wenn du im Zähler

+ 12

subtrahierst, also

\frac{5}{7} > \frac{5 - 12}{7} = \frac{- 7}{7} = - 1

Und dass

\frac{5}{7}

sicher größer als

- 1

ist, das wird ja auch niemand bestreiten wollen, oder?

Ehrlich gesagt sehe ich nicht so wirklich, worauf du hinaus willst und wo exakt dein Problem liegt.

Und wenn du sagst "Es scheint, dass

\frac{5}{7}

nicht nach oben beschränkt ist", so ist das ein wenig eigenartig. Es geht doch nicht darum immer größere oberere Schranken zu finden, sondern ganz im Gegenteil - interessant ist doch eine möglichst kleine obere Schranke, wenns geht sogar die kleinste, zu finden.

\frac{5}{7} < \infty

ist zweifelfrei richtig, aber

\frac{5}{7} \leq 1000

ist eine bessere Abschätzung nach oben und es gibt noch bessere!

R

ledum aktiv_icon

16:10 Uhr, 09.03.2016

Hallo
Zaähler vergrößern oder nennen verkleinern führt immer daz einen Bruch zu vergrößern, und so macht man das auch

i . A

. beim Abschätzen.
aber nicht nur bei Brüchen gilt mit

b > 0

gilt für alle

a \in ℝ a < a + b a > a - b

also

\frac{5}{7} < \frac{5}{7} + 7,123

\frac{5}{7} < \frac{5}{7} - 7.123

jede andere Zahl als

7.123

Cuts natürlich auch
bei deiner Regel Zähler verkleinern und

\frac{5}{7} : - 7 < 5

also

- \frac{7}{7} < \frac{5}{7}

der Sinn von Abschätzungen ist ja aber eigentlich nicht positive Zahlen mit negativen zu vergleichen, was du mit

\frac{5}{7}

scheint beim abschätzen nach unten durch 0 beschränkt zu sein,
ist einfach Quatsch eine feste Zahl wie

\frac{5}{7}

ist eben eine feste Zahl auf dem zahlenstrahl, jede Zahl rechts davon ist größer, jede Zahl links davon kleiner,warum du dir Pseudoregeln bastelst, wie beim verkleinern des Zählers darf man maximal den Zäher abziehen ???
Mich wundert deine auf Regeln beruhendes Vorgehen, denn im Grunde weisst du ja dass

- 100 < \frac{5}{7}

ist
gruß ledum

tommy40629 aktiv_icon

16:48 Uhr, 09.03.2016

@ Roman:
Zitat:
Ehrlich gesagt sehe ich nicht so wirklich, worauf du hinaus willst und wo exakt dein Problem liegt.

Mir ging es darum, mit einem ganz einfachen Beispiel zu verstehen, was "abschätzen nach oben" und "abschätzen nach unten" heißt.

Ob man sich beim "abschätzen nach oben" wirklich auf dem Zahlenstrahl nach rechts Richtung

\infty

bewegt.

Analog beim "abschätzen nach unten", ob man sich auf dem Zahlenstrahl nach links Richtung

- \infty

bewegt.

Das scheint ja so zu sein.

Ich fasse also noch einmal zusammen:

Einen Ausdruck "nach oben abschätzen" heißt einfach den Ausdruck größer zu machen.

Einen Ausdruck "nach unten abschätzen" heißt einfach den Ausdruck kleiner zu machen.

Sollte das falsch sein, dann bitte ich um Nachricht! Danke!

ledum aktiv_icon

16:54 Uhr, 09.03.2016

Hallo
nicht sehr geschickt ausgedrückt aber richtig.
Gruß ledum

Roman-22

17:07 Uhr, 09.03.2016

>

Einen Ausdruck "nach oben abschätzen" heißt einfach den Ausdruck größer zu machen.
Naja, besser würde mir gefallen "einen Ausdruck angeben, den der gegebene Ausdruck mit Sicherheit nicht übersteigt".
Eine Möglichkeit dazu ist, den Ausdruck zB durch Addition einer Konstanten (etwa im Zähler, wenn es sich um einen Bruch handelt) zu vergrößern.
Die Abschätzung

sin (55^{\circ}) \leq 1

wirst du so aber zB eher schwer erhalten, gewisse Dinge weiß man einfach und benutzt sie. Aber natürlich kannst du auch hier noch auf die Definition im rechtwinkeligen Dreieck zurückgehen und bist wieder bei einem Bruch gelandet.

R

tommy40629 aktiv_icon

09:46 Uhr, 11.03.2016

Danke Ledum.

@ Romann

"Naja, besser würde mir gefallen "einen Ausdruck angeben, den der gegebene Ausdruck mit Sicherheit nicht übersteigt".

Das gefällt mir auch besser. :-)

Dann ist jetzt wenigstens das Grundlegende geklärt.

Vielen Dank an Euch!

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