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Frage zum Beweis von Bolzano Weierstraß

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

anonymous

19:11 Uhr, 18.02.2019

Hallo ich habe eine Frage zur Beweisidee von Bolzano Weierstraß,
Wir wollen beweisen, dass die Folge an wenn sie beschränkt ist in den reelen Zahlen mindestens einen Häufungspunkt besitzt
Ich gehe hier wie folgt vor:
Wir wissen, dass die Folge an beschränkt ist und es demnach eine obere und untere Schranke geben wird, sodass die Folge Element von dem geschlossenen Intervall

[A, B]

ist, wobei A und

B

die obere und untere Schranke bilden
Dann konstruieren wir induktiv eine Intervallschachtelung und wissen dann, dass eben genau ein

x

existiert, welches in der Schnittmenge der Intervallschachtelung liegt.
Zuletzt definieren wir uns eine Teilfolge (ank) mit

k

gegen unendlich läuft gegen dieses

x

.

An dieser Stelle tritt eine kleine Frage auf:

Es folgt folgende Begründung:
Da unendlich viele der an in

[

bk+1,ck+1]=Ik+1 liegen, ex. nk+1

>

nk mit ank+> ist Element von Ik+1

__{_}__{}

Was sagt mit dieser Satz genau ?
Nur, dass die Folgenglieder meiner Teilfolge auch in allen Intervallen liegen ?????

Zuletzt wird noch das Sandwichverfahren angewandt, um die Konvergenz so nachzuweisen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

godzilla12 aktiv_icon

01:30 Uhr, 19.02.2019

Kleine Vorrede

" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "

Du weißt, wie mühselig die reelle Analysis wird, wenn man dir die Benutzung komplexer Zahlen verbietet.
Und noch etwas; die Beweise in der Algebra erfreuen sich aller größter Beliebtheit durch ihre Stringenz. Dagegen in der reellen Analysis herrscht Chaos; nur ein Beispiel. Auf dem Portal Mathelounge sollte mal die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion bewiesen werden. Ich mit meiner

\to

NSA

(s . u

. ) war da Ratz Fatz durch; ich zitiere

\to

Emmy Noether ( War die eigentlich mal Ehrenmitglied einer Freimaurerloge? )

" Der Bau der Mathematik muss aus trivialen Legosteinen bestehen. So dass wer nur die Fundamente sieht und die Wunder schönen Giebel, fragt sich: wie kamen die da hinauf? "

Weil mein Konkurrent auf Mathelounge argumentierte überhaupt nicht trivial. Er führte eine differenzierbare Hilfsfunktion ein, obwohl nirgends von einer Ableitung die Rede war und wandte den Mittelwertsatz an

. .

.
Und auch du begnügst dich nicht mit einem Intervall, sondern bemühst gleich eine ganze Intervallschachtelung. Und dann noch Induktion

. .

. Wenigstens führst du nicht dieses Heer an Spezial_Ungleichungen ein, die alle nach dir benannt sind und die niemand brauchen kann, weil sie einzig ersonnen wurden, dein Theoem zu beweisen

. .

(\to

Schopenhauers

\to

Mausefallenbeweis )
( Der Satz ist richtig, bloß weil ich dem Herrn Professor das Recht auf seine Sinn lose Ungleichung nichrt absprechen kann. )
Übrigens; warst du je im Mathematischen Kolloquium? Solltest du unbedingt mal hingehen. Das ist immer Fr.

17 h

. da alle ins Wochenende wollen, steht der Gastredner unter Druck, in

90 min

ein Thema vorzutragen, won dem keiner der Anwesenden weiß, was ist da wichtig, was ist trivial, was die Hauptsätze und was die ungelösten Probleme?

" Noch Fragen? "

Es ist schon tröstlich, gestandene Professoren wie begossene Erstsemester da sitzen zu sehen

. .

.
Und mit dir mache ich es jetzt genau so. Ich erzähle dir von Edward Nelson und seiner Nonstandard Analysis ( NSA ; IST )
Dabei steht die Abkürzung " IST " für seine drei Axiome, von denen das "

T

" wie " Transfer " gänzlich unentbehrlich ist. Da der Gastredner immer paar Beweise vorführt, die für sein Fach typisch sind, werde auch ich dir an paar Beispielen die Bedeutung von Transfer zu vermitteln suchen.
Du hast sicher schon mal gehört von Alfred Tarskis Konzept von Sprache und Metasprache. Eine ganz wichtige Sprache der Mathematik ist beispielsweise die Mengenlehre, offiziell

\to

ZFC . Ich will sie einmal als " Schwarz_Weiß-Mathematik " bezeichnen.
Stell dir einen hypothetischen Mann vor, der ideal Farben blind wäre in dem Sinne, dass er von Geburt an die Welt nie anders gesehen hat, als sie auf einer SW-Fotografie oder im SW-Fernsehen erscheint. ( Nennen wir ihn Weyer wie Weierstrass. ) Das genau ist die Analysis von Bolzano, Zermelo und Weierstrass.
Und jetzt kommt der Normalo Nelson; der ist voll farbtüchtig. Farbe ist aber eine Metasprache für Weyer. Alle Aussagen, die Weyer in seiner SW-Welt trifft, sind auch wahr in der Farbwelt. Jedoch ist für Weyer im gödelschen Sinne unentscheidbar, ob es das Prädikat Farbe überhaupt gibt.
Wirst sehen; " Farbe " ( Nelsons Prädikat " Standard " ) bringt Kontrast in die Beweise.
Als Lehrbuch empfehle ich dir Alain Robert bei Wiley; neueste Ausgabe natürlich bei Amazon.
Noch zwei Konventionen vorweg. Eine Variable " klein a " darf nur dann " Groß A " notiert werden, wenn ihr Wertebereich Standard ist. ( Nelson ist " case sensitive " , Weyer ist es nicht. )
Und griechische Buchstaben reservieren wir für inf(initesimale) Größen.
Also fangen wir an mit Häufungspunkten. Najaa; vielleicht doch noch bissele Handwerkszeug vorweg. Sei

T

ein metrischer Raum; wenn der Abstand der beiden Elemente

x

und

y

nicht größer als inf ist, so wollen wir schreiben

x \approx y;

in Worten:

"

x

ist fast gleich

y

"

Dabei gilt unser besonderes Augenmerk jenen Punkten

y,

für die gilt

\exists X | X \approx y (1)

In natürlicher Weise sagen wir,

y

sei fast Standard und nennen

y^{⋆} := X

den " Schatten " von

y (

Es lässt sich in der Tat zeigen, dass

y^{⋆}

eindeutig bestimmt ist. )

" Häufungspunkt " so wie ähnliche Begriffe fasst die NSA in

\to

implizite Definitionen ( ID ) Nelson selbst hat stets betont, was hinter einer ID steckt, sei so schwer zu kapieren, dass selbst die begabtesten Mathematiker daran scheitern; ich bedauere daher, dass ich ausgerechnet bei dir mit dem schwersten beginnen muss. Diese ID lautet

"

H

heißt Häufungspunkt der Menge

M \Leftrightarrow

\exists x

€

M, x \neq H; H = x^{⋆} (2)

Mal sehen, wie Vertrauen einflößend

(2)

ist. " Häufungspunkt " ist ja immer die Sache mit dem Auspieksen; es soll unerheblich sein, ob er selbst zur Menge gehört oder nicht. Dem gemäß ist hier auch von einem Nonstandard

x

€

M

die Rede; wir betrachten also tatsächlich nur Punkte aus

M \ H

(2)

behauptet, der Abstand von

H

M

sei inf. Aber bei einem Häufungspunkt muss er doch Null sein.
Wenn es uns gelingt zu zeigen, dass der Abstand

d (H; M) = D (H; M) =

Standard ist, dann ist er auch Standard inf

= 0

. Und genau dafür braucht es Transfer.

\exists d (H; M) \to \exists D (H; M) (3)

(3)

hängt allerdings an zwei ( hinreichenden; nicht notwendigen ) Kriterien. Die Formel selbst muss SW sein ( trifft sicher zu; " Abstand " gab es schon vor Nelson. ) Ferner haben wir hier zwei zusätzliche freie Parameter ( ZFP

);

und diese müssen " Uppeer Case " ( Standard ) sein. Das sind hier

H

und

M

.
Und jetzt zu deinem Bolzano_Weierstrass ( BW )
Der Satz wird übrigens nicht dadurch richtig, dass er in allen Lehrbüchern steht. Einfaches Gegenbeispiel; die Folge

a_{n} := < 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, . .

> (4)

Du wirst mir doch nicht erzählen, diese Folge habe einen Häufungspunkt

. .

.
Was hier in die Brüche geht; die Bildmenge dieser folge ist endlich.
Jetzt löse dich mal von dem Begriff " Folge " ; der BW ist eine triviale Konsequenz aus der NSA , und zwar in der Form

" Sei

m

eine unendliche beschränkte Teilmenge des

ℝ^{n}

. Dann besitzt

m

einen Häufungspunkt. "

Die NSA hat mich übrigens von Anfang an erzogen, so zu denken.
Denn gleich in der ersten Lektion kriegst du gsagt

" Diejenigen Mengen, die nur Standard Elememte enthalten, sind gena die endlichen Standardmengen. "

Zusammen mit

(2)

wirst du also förmlich mit der Nase darauf gestoßen, dass keine endliche Menge einen Häufungspunkt besitzt. Und dann

" Jede UNENDLICHE Menge besitzt ein NONSTANDARD Element. "

Na jetzt haben wir wenigstens kapiert, woher der ganze Ärger mit der Unendlichkeit kommt

. .

.
Aber hey; das ist doch schon die halbe Miete.
In

(2)

müssen wir doch nur noch zeigen, dass dieses Nonstandard

x

gleichzeitig fast Standard ist; und dann wäre

x^{⋆}

Häufungspunkt von

m

.
Langsam; betrachte mal den Fall einer ( beschränkten ) Standardmenge

M

. Hausaufgabe; per Transfer analog

(3)

zeigen, dass dann ihre Schranke

r = R =

Standard.
Ist diese obere Schranke gleichzeitig Standard, so sagt man, die Menge sei begrenzt ( engisch: limited )
Dass eine einzelne Zahl beschränkt ist, ist trivial; dass sie begrenzt ist, ist es nicht.
Und für alle begrenzten Elemente gilt der Schattensatz, welcher aussagt, dass sie fast Standard sind.

1) M

ist unendlich

\to \exists

Nonstandard

x

€

M

2) M

ist begrenzt

\to \exists x^{⋆} =

Häufungspnkt von

M

.

NOCH sind wir Case Sensitive; BW gilt aber für alle

m

. dieser Transfer ist eben so trivial wie notwendig; Transfer ist immer der Schluss von Standard auf Allgemein:

\forall M :

(M) \to \forall m :

(m) (5)

Eine klar gegliederte, hoch motivierende Argumentation. Und? Gedenkst du dich unserer Fangemeinde anzuschließen?

ermanus aktiv_icon

10:48 Uhr, 19.02.2019

Hallo,
da Godzilla dich missionieren will, statt auf deine eigentliche Verständnisfrage
einzugehen, will ich auch etwas dazu sagen:
Der Punkt

x

, der durch die Intervallschachtelung festgelegt ist,
ist Häufungspunkt der Folge

(a_{n})

, da in jeder Umgebung von

x

unendlich viele Folgenglieder liegen. Das ist äquivalent zu der Aussage,
dass die Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

eine Teilfolge

(a_{n_{k}})_{k \in ℕ}

besitzt, die gegen

x

konvergiert.
Godzilla hat es leider in den letzten Jahrzehnten nicht geschafft,
den in der Literatur deutlich (!) gemachten Unterschied zwischen "Häufungspunkt
einer Folge" und "Häufungspunkt einer Menge" wahrzunehmen.
Lass dich nicht von ihm verwirren ;-)
Gruß ermanus

abakus

12:02 Uhr, 19.02.2019

" leider in den letzten Jahrzehnten nicht geschafft..."

...ebenso wenig, wie er den Unterschied zwischen "hilfreichem Beitrag" und "peinlicher Selbstdarstellung" erfasst hat...

godzilla12 aktiv_icon

15:27 Uhr, 19.02.2019

Hier kennst du den Witz

" Die QED ist nicht schon deshalb wahr, weil Herr Professor sie gerne in der Prüfung hören möchte. "

In Umkehrung möcht ich hinzu fügen

" Und die NSA ist nicht schon deshalb falsch, weil kein Prof sie ausstehen kann. "

Da ist jener Schweizer Prof, mit dem ich mal ein Telefonat führte ( Nicht mehr erinnerlich, wie ich ausgerechnet an den kam. ) Er sprach wohl stellvertretend für viele seiner Standesgenossen

" Das Bedenkliche an der NSA scheint mir, dass diese Leute Mengen wie

ℕ, ℚ, ℝ

oder

ℂ

als endlich definieren, die für unsereinen unendlich sind. "
" Aber das ist doch blüüüühender Unsinn. Darf ich Ihre diesbezüglichen Bedenken ausräumen? "
" Lassen Sie mal; ich KENN MICH DA GAR NICHT AUS . Ich wiederhole nur, WAS MAN ALLGEMEIN SO HÖRT . "

Eine gewisse Vorsicht, die sich Mathematiker im Laufe der Jahrzehnte angewöhnt haben sollten: keine unbewiesenen Gerüchte verbreiten; jedem von denen sind doch schonmal jene beiden Aphorismen aus Wittgensteins Tractatus begegnet

" Alles was sich sagen lässt, lässt sich klar sagen. "
" Wovon man nicht reden kann, davon soll man schweigen. "

Ist mir schon klar; nicht jeder kann alles wissen. Wittgensteins Schweigegebot ist quasi der Kantsche Imperativ für diejenigen, die nix wissen.
Mein Daddy, Spitzname " Leo " , war handwerklich sehr begabt; so bald der mit Murxern zu tun bekam, kribbelte es ihm förmlich in den Fingern

" Ich kann das gar nicht mit ansehen. "

Im Sinne von Darwins

\to

Divergenz der Arten habe ich diese Begabung auf rein geistigem Gebiet geerbt; an der NSA begeistert mich ihre Stringenz. Zu zeigen: BW

Aus der Unendlichkeit von

M

folgt Statement

a)

Aus

a)

und der Beschränktheit folgt BW - fertig.

Zu Ermanus; du mahnst hier den Unterschied an zwischen " Häufungspunkt einer Menge " bzw. einer Folge. Ich will ehrlich sein; das höre ich heute zum ersten Mal; mir ist auch nicht bekannt, wie Bourbaki das hält. Ich möchte aber doch klar stellen, welche Rolle der Abstraktion in der Mathematik hukommt.
Stell dir vor, ich schreibe einem Prof, ich habe eine neue Definition. eine Zahl heiße schön, wenn sie gleichzeitig teilbar ist durch

4711

und

1234

. Obgleich sich die ganzen Skripten immer so esoterisch geben

" Definieren kannst du, was du willst; eine Definition kann man nicht hinterfragen. "

wird dir der Schrat höchstwahrscheinlich antworten

" Das können Sie so machen, wenn Sie dartun können, dass dieser Begriff der Schönheit fruchtbar ist für die Theorie. "

Und die BW Aussage gilt eben nicht nur für Folgen, sondern auch für beliebige Punktmengen im

ℝ^{n}

. Auch beweistechnisch sind keinerlei Unterschiede erkennbar.
Das erinnert mich an folgende Szene aus der Sesamstraße

" Hey Cookie; get me nine blocks from the block pile. "

Nach längeren Debatten mit seinem Mentor " Herbert " muss Krümelmonster einräumen

" How many can you count? "
" Hey that is something else - ähem - one

. .

. "

Also schickt er ihn neun Mal zu dem Blockpile; jedesmal solle er ein Klötzchen holen. Ohne pädagogische Unterstützung kommt er auch nicht zu der Einsicht, dass er damit die geforderten neun Klötzchen geholt hat. Und jetzt

" Walk over there to the pile of oranges and get me nine oranges. "
" Oh Herb; I am so embarrassed. "
" Hey what's wrong? "
" I know how to cont blocks; but I don't know how to count oranges

. .

. "

Entschuldige; aber der Unterschied zwischen Folgen und Mengen scheint mir ganz ähnlich zu sein wie der zwischen Klötzchen und Apfelsinen.
Und wenn es dich intressiere sollte. Erst seit meiner Beschäftigung mit NSA trat überhaupt in mein Gesichtsfeld, dass jede endliche Menge kompakt ist.
Weil sich das auf einmal aufdrängt.
Und Abakus spricht von Selbstdarstellung. nein; ich referiere gar nicht mich selber, sondern eine bestimmte mathematische Theorie, die völlig unabhängig von mir in der Welt ist. Doch in weiser Voraussicht erwähnte ic oben das mathematische Kolloquium. Weil was du da geboten kriegst, ist wirklich " peinliche Selbstdarstellung "
Das fängt schon damit an, dass die Inszenierung immer gleich abläuft. Bereits die erste Definition, die der Gastredner anschreibt, ist allen Anwesenden völlig unverständlich. Und bisher sagte es jeder Redner gegen Ende seines Vortrages überdeutlich:

" Alles, was ich bisher zum Stand der Forschung vorgebracht habe, diente nr dazu, damit Sie erkennen, wie heraus ragend meine Leistung bei der Lösung jener eingangs erwähnten ungelösten Fragen war; dass auf mich ganz neue Beweistechniken zurück gehen

. .

. "

Der eigentliche Moment der Peinlichkeit ergibt sich dann - und zwar ausnahmslos nach Ende jeder Veranstaltung - wenn du ( rein psychologisch ) merkst, dass keier aus dem Fachbereich auch nur ein wort verstanden hat; zu keinem Zeitpunkt habe ich auch nur eine -frage an den Redner vernommen.
Der Redner will nur bewundert werden.

ermanus aktiv_icon

15:40 Uhr, 19.02.2019

Und dieser Sermon ist jetzt deine Einsicht, wie du demnächst einem Studenten / einer
Studentin in konkreten Fragen helfen willst?
Ich werde deinen Beitrag noch einen Tag stehen lassen, damit
jeder deine großartigen pädagogischen und mathematischen Fähigkeiten
bewundern kann. Dann wird er verschwinden
und du kannst dir ja schonmal einen neuen Namen ausdenken.
Ich und viele andere haben die Schnauze voll ...

godzilla12 aktiv_icon

15:41 Uhr, 19.02.2019

Auch wenn der Frankfurter sagt; du sollst nicht jede Frage mit einer Gegenfrae beantworten.
Könnte es sein, dass niemand reagiert bzw. geantwortet hätte, wenn ICH nicht geantwortet hätte?

pwmeyer aktiv_icon

17:50 Uhr, 19.02.2019

Hallo,

mir geht es so: Wenn ich sehe, dass godzilla schon da war, habe ich die Nase voll.

Gruß pwm

ermanus aktiv_icon

18:07 Uhr, 19.02.2019

Wie gut, dass es hier keine Audiobeiträge gibt, sonst hätten wir
auch noch die Ohren voll.

godzilla12 aktiv_icon

12:26 Uhr, 20.02.2019

Ist ok Ermanus; ich konnte schon immer über mich selbst lachen.

ermanus aktiv_icon

12:59 Uhr, 20.02.2019

Zur Klarstellung @godzilla:

1. Häufungspunkt einer Folge:

Bourbaki: Topologie générale, Ch I,p 48/49:
"... pour que

y

soit valeur d'adhérence de la suite

(x_{n})

, il faut et il
suffit que pour tout voisinage

V

y

et pour tout entier

n_{0}

, il existe
un entier

n \geq n_{0}

tel que

x_{n} \in V

."
Danach sagt Bourbaki explizit, es sei wichtig, die Begriffe "Häufungspunkt einer
Folge" und "Häufungspunkt einer Menge" streng auseinander zu halten.
Bei den deutschen älteren Standardwerken findet man die Definition des
"Häungspunktes einer Folge" in
van der Waerden: Moderne Algebra 1959 und Algebra > 1959.
Ferner im berühmten
Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, spätestens seit 1964.

2. Dass man nicht alles wissen kann und hin und wieder schief liegt,
ist mir klar. Aber wenn man ernsthaft glaubt, dass alle Lehrbücher
der Analysis falsche Sätze mitteilten, also allen Analysis-Spezialisten
ihr angeblicher Fehler wohl nicht aufgefallen sei,
dann liegt doch hier ein offensichtlicher Hang zur Selbstüberschätzung vor.
Wenn so viele Lehrbücher der Analysis einhellig etwas behaupten, was mir
falsch vorkommt, da ich meine, ein Gegenbeispiel zu haben, dann werde ich doch
tunlichst bei mir den Fehler suchen.

Es ist diese "Großartigkeit", die nicht zu ertragen ist.
Beispiel dafür auch: die langen Litaneien bzgl. des sog. SRN.
Das sind doch alles simple Folgerungen aus dem allgemeinen Satz,
dass ein nichtkonstantes normiertes Polynom mit Koeffizienten in einem faktoriellen
Ring

R

genau dann irreduzibel über

R

ist, wenn es über dem Quotienten-
körper von

R

irredizibel ist.
Das ist eine moderne Verallgemeinerung des Artikels 42 aus Gauss
Disquisitiones Arithmeticae.
Wie kann man da wegen simpler Folgerungen
eine solch pompöse Selbstbeweihräucherung veranstalten?

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