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Frage zum Newtonschen Abkühlungsgesetzt

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Juliaaaaa aktiv_icon

10:49 Uhr, 19.11.2019

Hallo ihr Lieben

Ich studiere nun seit ein paar Wochen Humanmedizin und wir haben auch Mathe, was mich ehrlich gesagt ein bisschen überfordert.

Nun soll ich eine Aufgabe lösen, dabei geht es um das Newtonsche Abkühlungsgesetz. Aus dem Screenshot unten könnt ihr die Aufgabenstellung entnehmen.

Mein Problem ist jetzt, dass ich gar nicht wirklich weiss, was hier von mir verlangt wird. Die Aufgabenstellung ist schon komisch und jaa, vielleicht hat ja einer von euch eine Idee, wie ich da rangehen kann, um die Aufgabe zu lösen.

Herzlichen Dank

Julia

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

11:17 Uhr, 19.11.2019

Hallo,

> Mein Problem ist jetzt, dass ich gar nicht wirklich weiss, was hier von mir verlangt wird.

Hm, dir wird mitgeteilt, welcher Differentialgleichung diejenige Funktion

T (t)

genügt, die nach einer gewissen Zeit

t

die Temperatur

T (t)

des abgekühlten Körpers angibt. (Kann man auch mit Kaffee machen. Dann ist es nicht gleich so morbide.)

Nennen wir diese Funktion mal Temperaturfunktion.

Interessanter (weil mathematisch einfacher handhabbar) ist die Funktion

S (t)

, die angibt, wie viel Grad Celsius (z.b.) der sich abkühlende Körper nach der Zeit

t

noch über der Raumtemperatur

T_{0}

befindet.

Diese Funktion

S (t)

nennen wir mal Abkühlungsfunktion.

Der Zusammenhang ist

S (t) = T (t) - T_{0}

! (Dieser Zusammenhang muss sich für dich unmittelbar aus dem Sachzusammenhang ergeben. Wenn nicht, kannst du die Aufgabe nicht lösen.)

In (a) will man von dir wissen, welcher (deutlich) einfacheren Differentialgleichung die Funktion

S

genügt. Tipp. Du solltest schon in der Schule damit zu tun bekommen haben.

In (b) will man nun, dass du aus einer Lösung für die DGL für

S (t)

gemäß der Gleichung

S (t) = T (t) - T_{0}

eine Lösung für

T

findest.
Ja, da steckt ein hübsches Stückchen Rechenarbeit dahinter, aber das müssen andere Studienrichtungen auch leisten, ohne gleich Mathematik studiert zu haben.

Um dir einen Hinweis zu geben, wie man sich mit den aus dem Unterricht noch sehr vertrauten Methoden der Sache nähern kann:
In welcher Relation stehen die Graphen der Funktionen

S (t)

und

T (t)

?
Welche Bedeutung hat das für die Relation zwischen

S ʹ (t)

und

T ʹ (t)

?
Wie erhält man aus der DGL

T ʹ (t) = - k (T (t) - T_{0})

und der wichtigen Gleichung

S (t) = T (t) - T_{0}

eine geeignete DGL für

S (t)

? (-> Ist (a).)
Welche Lösung hat die DGL für

S (t)

?
Wie bastelt man daraus (nunmehr nur noch mit

S (t) = T (t) - T_{0}

S (t) = T (t) - T_{0}

) eine Lösung für

S (t)

? (-> Ist (b).)

Mfg Michael

Juliaaaaa aktiv_icon

07:50 Uhr, 17.12.2019

Alsoo, wenn gilt, dass

S (t) = T (t) - T 0,

dann würde ja gelten, dass

S' (t) = T' (t),

sehe ich das richtig?

Damit gilt weiter, dass

S' (t) = - k \cdot S (t),

oder?

Aber was fange ich jetzt damit genau an?

Und bei

b)

ist dann nach einer Funktion gefragt, die nur von den genannten Parametern abhängt. Ich nehme mal an, hier müsste ich die Stammfunktion der DGL

T' (t) = - k (T (0) - T 0)

finden. Das wäre ja sowas in der Art von

T (t) = (T 0 - T (0)) \cdot e^{- k \cdot t} + T (0)

wenn mich nicht alles täuscht. Liege ich da richtig?

Danke und LG

Juliaaaaa aktiv_icon

08:28 Uhr, 17.12.2019

Also, ich hab mir das mal versucht auszurechnen, also die Teilaufgabe

b)

.

Zu Beginn haben wir ja

x' (t) = \frac{d x}{d t} = - k (x - x 0)

Das lässt sich schreiben als

\frac{d x}{x - x 0} = - k \cdot d t

Daraufhin kann man zwei unbestimmte Integrale bilden nämlich

\int (\frac{d x}{x - x 0}) = \int (- k \cdot d t)

Dann kann man diese auflösen und gelangt zu

ln | x - x 0 | = - k \cdot t + C

Dann löst man das Ganze auf und erhält dann sowas wie

x - x 0 = C \cdot e^{- k \cdot t}

Jetzt müsste ich noch das Problem mit dem

C

lösen, da ich das nicht drinhaben will, da die Funktion nur von den genannten Faktoren abhängen darf. Da

C = x - x 0

gilt, kann ich das einsetzen und erhalte letztendlich

T (t) = T 0 + (T (0) - T 0) \cdot e^{- k \cdot t}

was der gesuchten Formel entspricht. Ich hoffe das stimmt so alles!

ledum aktiv_icon

16:42 Uhr, 17.12.2019

Hallo
stimmt alles, nur warum musst du

T (t)

durch

x (t)

ersetzen um zu rechnen, übersichtlicher wird es mit direkt dT/dt=...
Gruß ledum

Juliaaaaa aktiv_icon

20:48 Uhr, 17.12.2019

Haha ja, ich weiss... Aber ich habs nur hier so gemacht, weil das mit dem Formeleditor nicht so ganz geklappt hat mit der Darstellung. Aber danke für die Rückmeldung!

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